Ensino Fundamental ⇒ Transformações e espaços lineares Tópico resolvido

[tiberiotavares]

1) Verificar quais deles são subespaços vetoriais do R² relativamente as operações de adição e multiplicação por escalar usuais

a) S = {(x,y)/x+3y = 0}

b) S = {(y,y); y [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]

}

[deOliveira]

Definição: Seja [tex3]U[/tex3]

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[tex3]U[/tex3]

um espaço vetorial sobre [tex3]\mathbb R[/tex3]

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[tex3]\mathbb R[/tex3]

. [tex3]S\subset U[/tex3]

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[tex3]S\subset U[/tex3]

é dito subespaço vetorial se as condições seguintes são satisfeitas:

1. [tex3]0\in S[/tex3]

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   [tex3]0\in S[/tex3]

2. [tex3]\forall u,v\in S,\hspace2mm (u+v)\in S[/tex3]

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   [tex3]\forall u,v\in S,\hspace2mm (u+v)\in S[/tex3]

3. [tex3]\forall u\in S\hspace2mme\hspace2mm\forall\alpha\in\mathbb R, \hspace2mm (\alpha u)\in S[/tex3]

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   [tex3]\forall u\in S\hspace2mme\hspace2mm\forall\alpha\in\mathbb R, \hspace2mm (\alpha u)\in S[/tex3]

a) [tex3]S=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x+3y=0\}[/tex3]

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[tex3]S=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x+3y=0\}[/tex3]

1. [tex3](0,0)\in S[/tex3]

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   [tex3](0,0)\in S[/tex3]

   pois [tex3]0+3\cdot0=0+0=0[/tex3]

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   [tex3]0+3\cdot0=0+0=0[/tex3]

2. [tex3]Sejam\hspace2mmu,v\in S\\u=(x_1,y_1)\hspace2mm e \hspace2mm v=(x_2,y_2)\\u,v\in S\implies x_1+3y_1=x_2+3y_2=0\\u+v=(x_1+x_2,y_1+y_2)\\(x_1+x_2)+3(y_1+y_2)=x_1+x_2+3y_1+3y_2=(x_1+3y_1)+(x_2+3y_2)=0+0=0\\\implies (u+v)\in S[/tex3]

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   [tex3]Sejam\hspace2mmu,v\in S\\u=(x_1,y_1)\hspace2mm e \hspace2mm v=(x_2,y_2)\\u,v\in S\implies x_1+3y_1=x_2+3y_2=0\\u+v=(x_1+x_2,y_1+y_2)\\(x_1+x_2)+3(y_1+y_2)=x_1+x_2+3y_1+3y_2=(x_1+3y_1)+(x_2+3y_2)=0+0=0\\\implies (u+v)\in S[/tex3]

3. [tex3]Sejam\hspace2mmu\in S,\hspace2mmu=(x_1,y_1)\hspace2mme\hspace2mm\alpha\in\mathbb R\\u\in S\implies x_1+3y_1=0\\\alpha u=(\alpha x_1,\alpha y_1)\\(\alpha x_1)+3(\alpha y_1)=\alpha(x_1+3y_1)=\alpha0=0\\\implies(\alpha u)\in S[/tex3]

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   [tex3]Sejam\hspace2mmu\in S,\hspace2mmu=(x_1,y_1)\hspace2mme\hspace2mm\alpha\in\mathbb R\\u\in S\implies x_1+3y_1=0\\\alpha u=(\alpha x_1,\alpha y_1)\\(\alpha x_1)+3(\alpha y_1)=\alpha(x_1+3y_1)=\alpha0=0\\\implies(\alpha u)\in S[/tex3]

[tex3]\therefore S [/tex3]

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[tex3]\therefore S [/tex3]

é um subesaço vetorial.

b) [tex3]S=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x=y\}[/tex3]

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[tex3]S=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x=y\}[/tex3]

1. [tex3](0,0)\in S[/tex3]

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   [tex3](0,0)\in S[/tex3]

   pois [tex3]0=0[/tex3]

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   [tex3]0=0[/tex3]

2. [tex3]Sejam\hspace2mmu,v\in S.\\u=(x_1,y_1)\hspace2mmem\hspace2mmque\hspace2mmx_1=y_1\\v=(x_2,y_2)\hspace2mmem \hspace2mmque\hspace2mmx_2=y_2\\u+v=(x_1+x_2,y_1+y_2)\\x_1+x_2=y_1+y_2\\\implies(u+v)\in S[/tex3]

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   [tex3]Sejam\hspace2mmu,v\in S.\\u=(x_1,y_1)\hspace2mmem\hspace2mmque\hspace2mmx_1=y_1\\v=(x_2,y_2)\hspace2mmem \hspace2mmque\hspace2mmx_2=y_2\\u+v=(x_1+x_2,y_1+y_2)\\x_1+x_2=y_1+y_2\\\implies(u+v)\in S[/tex3]

3. [tex3]Seam\hspace2mmu\in S, \hspace2mmu=(x,y)\hspace2mmem\hspace2mm que\hspace2mmx=y\hspace2mme\hspace2mm\alpha\in\mathbb R.\\\alpha u=(\alpha x,\alpha y)\\\alpha x=\alpha y\\\implies(\alpha u)\in S [/tex3]

   Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

   [tex3]Seam\hspace2mmu\in S, \hspace2mmu=(x,y)\hspace2mmem\hspace2mm que\hspace2mmx=y\hspace2mme\hspace2mm\alpha\in\mathbb R.\\\alpha u=(\alpha x,\alpha y)\\\alpha x=\alpha y\\\implies(\alpha u)\in S [/tex3]

[tex3]\therefore S[/tex3]

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[tex3]\therefore S[/tex3]

é um subespaço vetorial.

Espero ter ajudado .
(Transformações lineares não é assunto de ensino fundamental )