Ensino Médio

Gu178 · Mensagem não lida por **Gu178** » Dom 15 Mar, 2015 20:23

Olá, será que alguém pode me ajudar?

No ciclo trigonométrico ao lado, A é o ponto médio de OB e B é a imagem do número real [tex3]\alpha[/tex3] . Encontre, em função de [tex3]\alpha[/tex3] , a área do triângulo ABC.

: a7db4f2ff789f21cbe2ca051d9443f54.jpg (26.89 KiB) Exibido 6988 vezes

Mensagem não lidapor **candre** » Dom 15 Mar, 2015 23:43 · Mensagem não lida por **candre** » Dom 15 Mar, 2015 23:43

creio que seja assim

considere $D$ a intersecção do prolongante do segmento $\overline{BC}$ com a reta $x$ , por considere que $\overline{OB}=r,r\ge0$ , pelas definições da função trigonométricas, temos que
$B=(r\cos\alpha,r\sin\alpha)$
como o segmento $\overline{BC}$ e paralelo ao eixo $y$ temos que $D=(r\cos\alpha,0)$
dessa forma
$\overline{OD}=\sqrt{(r\cos\alpha)^2}=r|\cos\alpha|\\ \overline{BD}=\sqrt{(r\sin\alpha)^2}=r|sin\alpha|$
não e difícil ver que $\triangle ABC\cong \triangle ODB$ já que da figura e fácil ver que $\angle DOB=\angle CAB=\alpha$ e $\angle BCA=\angle BDO=90^\circ$ , sendo que $A$ é o ponto médio do segmento $\overline{OB}$ então $2\overline{OA}=2\overline{AB}=\overline{OB}$ e então por semelhança de triângulos
$\frac{\overline{BD}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{DO}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{OB}}{\overline{AB}}=\frac{1}{2}$
disso obtemos que
$\overline{BC}=\frac{r|\sin\alpha|}{2}\\ \overline{AC}=\frac{r|\cos\alpha|}{2}$
como $\triangle ABC$ e retângulo em $C$ obtemos
$S_{\triangle ABC}=\frac{\overline{AC}\cdot\overline{BC}}{2}=\frac{r^2|\sin\alpha||\cos\alpha|}{8}\equiv\frac{r^2|\sin2\alpha|}{16}$

Gu178 · Mensagem não lida por **Gu178** » Seg 16 Mar, 2015 09:54

Muito obrigado, sua resposta foi muito exclarecedora. Que Deus te abençõe.

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