Ensino Superior

drleonunes · Mensagem não lida por **drleonunes** » 09 Mar 2015, 13:40

Olá,
Bom dia!
Estou tentando calcular o limite para a seguinte função;
[tex3]\lim_{x \to 2, y \to 3} [\frac{3x-2y}{y-x-1} ][/tex3]
A minha calculadora resolveu como -3, entretanto não estou compreendo o passo-a-passo para chegar a esse valor.
Aguardo alguma contribuição, se possível.
Obrigado.
Leandro.

09 Mar 2015, 18:09

existe o análogo do L'Hospital pra dimensões maiores que um

$\lim_{(x,y) \rightarrow (a,b)} \frac{f(x,y)}{g(x,y)} = \lim_{(x,y) \rightarrow (a,b)} \frac{D_vf(x,y)}{D_vg(x,y)}$

onde $D_vf$ é a derivada direcional de $f$ em uma direção que elas não se anulem.

Pegue os gradientes de $3x-2y$ e $y-x-1$ e escolha uma direção conveniente.

$(3,-2)$ e $(-1,1)$ mas tá estranho que depende da direção...

qualquer curiosidade o teorema está aqui http://arxiv.org/pdf/1209.0363.pdf

27 Jul 2023, 06:45

vamos usar duas regras de limites de duas variáveis: a da linearidade e do quociente:

Se [tex3]\lim _{(x,y)\rightarrow (a,b)} f(x,y) = L[/tex3] e [tex3]\lim _{(x,y)\rightarrow (a,b)} g(x,y) = K \neq 0[/tex3] , então, [tex3]\lim _{(x,y)\rightarrow (a,b)} \frac{f(x,y)}{g(x,y)} = \frac LK[/tex3] (quociente)

e [tex3]\lim _{(x,y)\rightarrow (a,b)} Ax+By+C = Aa+Bb+C[/tex3] (linearidade)

Da linearidade, temos [tex3]\lim _{(x,y)\rightarrow (2,3)} 3x-2y = 6-6=0[/tex3] e [tex3]\lim _{(x,y)\rightarrow (2,3)} y-x-1 = 3-2-1=0[/tex3]

então, façamos a seguinte mudança de variáveis: [tex3]x' = x-2[/tex3] e [tex3]y' = y-3[/tex3] , de forma que [tex3](x,y) \rightarrow (2,3) \iff (x',y') \rightarrow (0,0)[/tex3] :

[tex3]\lim_{x \to 2, y \to 3} [\frac{3x-2y}{y-x-1} ] = \lim_{x' \to 0, y' \to 0} \frac{3(x'+2)-2(y'+3)}{y'+3-x'-2-1} =\lim_{(x',y') \to (0, 0)} \frac{3x'-2y'}{y'-x'} [/tex3]

pronto.
Veja que se [tex3]x'=0[/tex3] , teremos que o limite dará [tex3]-2[/tex3] , e que se [tex3]y'=0[/tex3] , o limite será [tex3]-3[/tex3] ; então, o limite não existe. Sua calculadora está equivocada:

https://www.wolframalpha.com/input?i=li ... x-1%7D+%5D

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