Demonstração Área Quadrilátero em Função das Diagonais

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Marcos: Mensagens: 1011; Registrado em: 31 Dez 2009, 21:51; Última visita: 01-05-20; Agradeceu: 38 vezes; Agradeceram: 647 vezes

Mar 2015 08 18:09

Demonstração Área Quadrilátero em Função das Diagonais

Mensagem não lidapor Marcos » 08 Mar 2015, 18:09

Mensagem não lida por Marcos » 08 Mar 2015, 18:09

As diagonais $D$ e $d$ de um quadrilátero convexo, não necessariamente regular, formam um ângulo agudo.Demonstre que a área desse quadrilátero é $\frac{D.d.\sin\theta }{2}$ .

: Quadrilátero.gif (4.05 KiB) Exibido 2344 vezes

Resolução:

$\Rightarrow$ No quadrilátero $ABCF$ da figura abaixo:

: Sol..gif (4.65 KiB) Exibido 2344 vezes

$\Rightarrow$ Seja $E$ o ponto de intersecção das diagonais $D$ e $d$ e sejam $h_{1}$ e $h_{2}$ as alturas dos triângulos $ABC$ e $ACF$ , respectivamente.Então temos:

$\begin{cases} h_{1}=\overline{BE}.\sin\theta \\ h_{2}=\overline{FE}.\sin\theta \end{cases}$

$\Rightarrow$ A área $S$ do quadrilátero é igual à soma das áreas dos triângulos $ABC$ e $ACF$ , ou seja:

$S_{ABCF}=S_{ABC}+S_{ACF}$
$S=\frac{\overline{AC}.h_{1}}{2}+\frac{\overline{AC}.h_{2}}{2}$
$S=\frac{\overline{AC}.\overline{BE}.\sin\theta}{2}+\frac{\overline{AC}.\overline{FE}.\sin\theta}{2}$
$S=\frac{\overline{AC}.(\overline{BE}+\overline{FE}).\sin\theta}{2}$
$\boxed{\boxed{S=\frac{D.d.\sin\theta }{2}}} \ \ (c.q.d)$

Editado pela última vez por Marcos em 08 Mar 2015, 18:09, em um total de 1 vez.

''Nunca cruze os braços diante dos obstáculos, pois lembre-se que o maior dos Homens morreu de braços abertos.''

Marcos

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por carlosalves10 » 24 Dez 2018, 20:39 » em Concursos Públicos

Primeira Postagem

Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5cm e 6cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero RSTU...

Últ. msg

Quando vc une os pontos médios dos lados teremos as bases médias dos triângulos e paralelas as diagonais, Assim teremos 6/2+5/2+6/2+5/2 =11cm

1 Resp.

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Primeira Postagem

não sabia onde postar isso mas como ja vi mais de uma questão em que aparece um quadrilatero desse tipo decidi postar aqui, gostaria de saber se um quadrilatero com dos lados iguais e uma diagonal...

Últ. msg

leonaosei ,
Perceba que os pontos B, C e D pertecem a uma mesma circunferência com centro em A. Agora, para afirmar se essa figura é um losango ou um paralelogramo da vida, acho que precisamos de...

2 Resp.

1265 Exibições

Últ. msg por Tassandro
26 Jun 2020, 13:45
Nova mensagem Diagonais de um quadrilátero

Últ. msg por Deleted User 24633 « 11 Jul 2020, 19:29
Enviado em Ensino Fundamental
Resp.: 1
por japerito » 11 Jul 2020, 17:57 » em Ensino Fundamental

Primeira Postagem

Um quadrilátero convexo Q te diagonais respectivamente iguais a 4 e 6. Assinale dentre as opções a única possível para o perímetro de Q

A) 10

B) 15

C) 20

D)25

E) 30

Últ. msg

Letra B)

Considere o quadrilátero ABCD meramente representativo.

Suponha que AC=6 e BD=4 . Pela desigualdade triangular aplicada nos triângulos AOB , BOC , COD e AOD obtemos respectivamente
AB...

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935 Exibições

Últ. msg por Deleted User 24633
11 Jul 2020, 19:29
Nova mensagem Diagonais de um quadrilátero

Últ. msg por petras « 21 Fev 2023, 11:54
Enviado em Ensino Médio
Resp.: 1
por Cadete01 » 18 Fev 2023, 07:30 » em Ensino Médio

Primeira Postagem

Os lados de um quadrilátero AB=6, BC=14, CD=20 , E DA=8. Se duas diagonais AC e BD desse quadrilátero têm a mesma medida x, x inteiro, então x é igual a:
A)9
B)10
C)11
D)12
E)13

Últ. msg

Cadete01 ,

No triângulo ACD pordesigualdade triangular x + 8 > 20 portanto x > 12(I)
No triángulo ABD, do mesmo modo, teremos x x > 12, como x é inteiro teremos x=13
(Solução:Thadeu)

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Últ. msg por petras
21 Fev 2023, 11:54
Nova mensagem Teorema das Diagonais

Últ. msg por Cardoso1979 « 13 Abr 2022, 21:27
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Resp.: 1
por Auto Excluído (ID:22341) » 24 Set 2019, 17:55 » em Ensino Superior

Primeira Postagem

Usando o Teorema das Diagonais calcule a seguinte soma. Justifique:

Últ. msg

Olá! Não é permitido postar perguntas em formato de imagens , pois vai contra as regras deste fórum! A pergunta q você postou é possível de ser digitada tranquilamente usando o Tex .

Excelente...

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950 Exibições

Últ. msg por Cardoso1979
13 Abr 2022, 21:27

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