Física III ⇒ Lei de Coulomb Tópico resolvido

[Halwen]

Nos vértices de um triângulo isósceles existem três cargas puntiformes fixas e iguais entre si. Calcular a relação entre a base b e a altura h relativa à base para que qualquer carga colocada no ponto médio da altura fique em equilíbrio sob a ação das forças elétricas.
Obs: A base é o lado diferente do triângulo.

Resposta

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Resposta:[tex3]\sqrt{\sqrt[3]{4-1}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\sqrt[3]{4-1}}[/tex3]

[aleixoreis]

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Halwen:
As forças que agem sobre [tex3]Q[/tex3]

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[tex3]Q[/tex3]

são [tex3]R\,e\,T[/tex3]

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[tex3]R\,e\,T[/tex3]

[tex3]F=\frac{kQq}{d^2}[/tex3]

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[tex3]F=\frac{kQq}{d^2}[/tex3]

[tex3]R=\sqrt{F^2+F^2+2F\cos 2\alpha}\rightarrow R=\sqrt{2F^2+(1+\cos 2\alpha)}[/tex3]

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[tex3]R=\sqrt{F^2+F^2+2F\cos 2\alpha}\rightarrow R=\sqrt{2F^2+(1+\cos 2\alpha)}[/tex3]

Se [tex3]\cos 2\alpha=\cos ^2\alpha-sen^2\alpha\rightarrow \cos 2\alpha=\cos ^2\alpha-(1-\cos ^2\alpha)[/tex3]

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[tex3]\cos 2\alpha=\cos ^2\alpha-sen^2\alpha\rightarrow \cos 2\alpha=\cos ^2\alpha-(1-\cos ^2\alpha)[/tex3]

Então: [tex3]R=\sqrt{2F^2(1+\cos ^2\alpha -1+\cos ^2\alpha)}\rightarrow R=2F\cos \alpha[/tex3]

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[tex3]R=\sqrt{2F^2(1+\cos ^2\alpha -1+\cos ^2\alpha)}\rightarrow R=2F\cos \alpha[/tex3]

Temos também: [tex3]d^2=\frac{b^2+h^2}{4}\rightarrow d=\frac{\sqrt{b^2+h^2}}{2}[/tex3]

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[tex3]d^2=\frac{b^2+h^2}{4}\rightarrow d=\frac{\sqrt{b^2+h^2}}{2}[/tex3]

[tex3]\cos \alpha =\frac{h}{2d}\rightarrow \cos \alpha=\frac{h}{\sqrt{b^2+h^2}}[/tex3]

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[tex3]\cos \alpha =\frac{h}{2d}\rightarrow \cos \alpha=\frac{h}{\sqrt{b^2+h^2}}[/tex3]

Para que haja equilíbrio entre as forças: [tex3]T=R\rightarrow \frac{kQq}{\frac{h^2}{4}}=2.\frac{kQq}{d^2}.\cos \alpha\rightarrow \frac{4}{h^2}=\frac{2\cos \alpha}{d^2}\rightarrow \frac{2}{h^2}=\frac{\cos \alpha }{d^2}[/tex3]

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[tex3]T=R\rightarrow \frac{kQq}{\frac{h^2}{4}}=2.\frac{kQq}{d^2}.\cos \alpha\rightarrow \frac{4}{h^2}=\frac{2\cos \alpha}{d^2}\rightarrow \frac{2}{h^2}=\frac{\cos \alpha }{d^2}[/tex3]

Substituindo os valores de [tex3]\cos \alpha\,e\,d^2[/tex3]

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[tex3]\cos \alpha\,e\,d^2[/tex3]

:
[tex3]\frac{2}{h^2}=\frac{h}{\sqrt{b^2+h^2}}\times \frac{4}{b^2+h^2}[/tex3]

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[tex3]\frac{2}{h^2}=\frac{h}{\sqrt{b^2+h^2}}\times \frac{4}{b^2+h^2}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{h^2}=\frac{h}{\sqrt{b^2+h^2}}\times \frac{4}{b^2+h^2}\rightarrow \frac{1}{h^2}=\frac{2h}{(b^2+h^2)^\frac{3}{2}}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{h^2}=\frac{h}{\sqrt{b^2+h^2}}\times \frac{4}{b^2+h^2}\rightarrow \frac{1}{h^2}=\frac{2h}{(b^2+h^2)^\frac{3}{2}}[/tex3]

[tex3]2h^{3}=(b^2+h^2)^\frac{3}{2}\rightarrow \sqrt[3]{2h^{3}}=((b^2+h^2)^\frac{3}{2})^\frac{1}{3}\rightarrow \sqrt[3]{2}.h=\sqrt{b^2+h^2}[/tex3]

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[tex3]2h^{3}=(b^2+h^2)^\frac{3}{2}\rightarrow \sqrt[3]{2h^{3}}=((b^2+h^2)^\frac{3}{2})^\frac{1}{3}\rightarrow \sqrt[3]{2}.h=\sqrt{b^2+h^2}[/tex3]

e elevando os dois membros ao quadrado:
[tex3](2^\frac{1}{3})^2.h=b^2+h^2\rightarrow 2^\frac{2}{3}.h^2=b^2+h^2[/tex3]

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[tex3](2^\frac{1}{3})^2.h=b^2+h^2\rightarrow 2^\frac{2}{3}.h^2=b^2+h^2[/tex3]

[tex3]h^2(2^\frac{2}{3}-1)=b^2\rightarrow \frac{b^2}{h^2}=(2^\frac{2}{3}-1)[/tex3]

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[tex3]h^2(2^\frac{2}{3}-1)=b^2\rightarrow \frac{b^2}{h^2}=(2^\frac{2}{3}-1)[/tex3]

[tex3]\frac{b}{h}=(2^\frac{2}{3}-1)^\frac{1}{2}\rightarrow \frac{b}{h}=\sqrt{2^\frac{2}{3}-1}\rightarrow \frac{b}{h}=\sqrt{\sqrt[3]{2^2}-1}[/tex3]

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[tex3]\frac{b}{h}=(2^\frac{2}{3}-1)^\frac{1}{2}\rightarrow \frac{b}{h}=\sqrt{2^\frac{2}{3}-1}\rightarrow \frac{b}{h}=\sqrt{\sqrt[3]{2^2}-1}[/tex3]

Penso que é isso.
[ ]'s,

[Halwen]

Muito obrigado pela ajuda!