Ensino Médio ⇒ Questão de logaritmo - mudança de base

[thaiiiise]

Boa noite! Alguém pode, por favor, me explicar o passo-a-passo dessa questão?

Se [tex3]\log_{ab} 4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{ab} 4[/tex3]

, calcule [tex3]\log_{ab} \frac{\sqrt[3] a }{\sqrt b}[/tex3]

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[tex3]\log_{ab} \frac{\sqrt[3] a }{\sqrt b}[/tex3]

Obrigada!!

[VALDECIRTOZZI]

Não entendi bem a questão, você poderia confirmar se é a seguinte:

Se [tex3]\log_{ab} a=4[/tex3]

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[tex3]\log_{ab} a=4[/tex3]

, calcule [tex3]\log_{ab} \frac{\sqrt[3] a}{\sqrt b}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{ab} \frac{\sqrt[3] a}{\sqrt b}[/tex3]

Grato!

[ARTHUR36]

A questão é essa mesmo.
Também estou com dúvida nela.

[Rafa2604]

Se [tex3]\log_{ab} a=4[/tex3]

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[tex3]\log_{ab} a=4[/tex3]

, calcule [tex3]\log_{ab} \frac{\sqrt[3] a}{\sqrt b}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{ab} \frac{\sqrt[3] a}{\sqrt b}[/tex3]

[tex3]\log_{ab} a=4 \;\; \rightarrow \;\; a = (ab)^4 \;\; \rightarrow \;\; a = a^4b^4 \;\; \rightarrow \;\; b^4 = \frac{1}{a^3} \;\; \rightarrow \;\; b = \frac{1}{a^{\frac{3}{4}}} = a^{-\frac{3}{4}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{ab} a=4 \;\; \rightarrow \;\; a = (ab)^4 \;\; \rightarrow \;\; a = a^4b^4 \;\; \rightarrow \;\; b^4 = \frac{1}{a^3} \;\; \rightarrow \;\; b = \frac{1}{a^{\frac{3}{4}}} = a^{-\frac{3}{4}}[/tex3]

Portanto, temos que: [tex3]b = a^{-\frac{3}{4}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b = a^{-\frac{3}{4}}[/tex3]

.

Queremos calcular:
[tex3]\log_{ab} \frac{\sqrt[3] a}{\sqrt b} = x \;\; \rightarrow \;\; \frac{\sqrt[3] a}{\sqrt b} = (ab)^x \;\; \rightarrow \;\; \frac{a^\frac{1}{3}}{b^\frac{1}{2}} = (ab)^x \;\; \rightarrow \;\; [b = a^{-\frac{3}{4}}] \;\; \rightarrow \;\; \frac{a^{\frac{1}{3}}}{(a^{-\frac{3}{4}})^{\frac{1}{2}}} = (a.a^{-\frac{3}{4}})^x \;\; \rightarrow \\\\ \;\; \rightarrow \;\; \frac{a^\frac{1}{3}}{a^{-\frac{3}{8}}} = (a^1.a^{-\frac{3}{4}})^x \;\; \rightarrow \;\; a^{\frac{1}{3}+\frac{3}{8}} = (a^{1-\frac{3}{4}})^x \;\; \rightarrow \;\; a^{\frac{17}{24}} = (a^{\frac{1}{4}})^x \;\; \rightarrow \;\; \frac{17}{24} = \frac{1}{4}x \;\; \rightarrow \;\; x = \frac{17}{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{ab} \frac{\sqrt[3] a}{\sqrt b} = x \;\; \rightarrow \;\; \frac{\sqrt[3] a}{\sqrt b} = (ab)^x \;\; \rightarrow \;\; \frac{a^\frac{1}{3}}{b^\frac{1}{2}} = (ab)^x \;\; \rightarrow \;\; [b = a^{-\frac{3}{4}}] \;\; \rightarrow \;\; \frac{a^{\frac{1}{3}}}{(a^{-\frac{3}{4}})^{\frac{1}{2}}} = (a.a^{-\frac{3}{4}})^x \;\; \rightarrow \\\\ \;\; \rightarrow \;\; \frac{a^\frac{1}{3}}{a^{-\frac{3}{8}}} = (a^1.a^{-\frac{3}{4}})^x \;\; \rightarrow \;\; a^{\frac{1}{3}+\frac{3}{8}} = (a^{1-\frac{3}{4}})^x \;\; \rightarrow \;\; a^{\frac{17}{24}} = (a^{\frac{1}{4}})^x \;\; \rightarrow \;\; \frac{17}{24} = \frac{1}{4}x \;\; \rightarrow \;\; x = \frac{17}{6}[/tex3]

[ARTHUR36]

Se [tex3]\log_{ab} a=4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{ab} a=4[/tex3]

, calcule [tex3]\log_{ab} \frac{\sqrt[3] a}{\sqrt b}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{ab} \frac{\sqrt[3] a}{\sqrt b}[/tex3]

[tex3]\log_{ab} a=4 \;\; \rightarrow \;\; a = (ab)^4 \;\; \rightarrow \;\; a = a^4b^4 \;\; \rightarrow \;\; b^4 = \frac{1}{a^3} \;\; \rightarrow \;\; b = \frac{1}{a^{\frac{3}{4}}} = a^{-\frac{3}{4}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{ab} a=4 \;\; \rightarrow \;\; a = (ab)^4 \;\; \rightarrow \;\; a = a^4b^4 \;\; \rightarrow \;\; b^4 = \frac{1}{a^3} \;\; \rightarrow \;\; b = \frac{1}{a^{\frac{3}{4}}} = a^{-\frac{3}{4}}[/tex3]

Portanto, temos que: [tex3]b = a^{-\frac{3}{4}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b = a^{-\frac{3}{4}}[/tex3]

.

Queremos calcular:
[tex3]\log_{ab} \frac{\sqrt[3] a}{\sqrt b} = x \;\; \rightarrow \;\; \frac{\sqrt[3] a}{\sqrt b} = (ab)^x \;\; \rightarrow \;\; \frac{a^\frac{1}{3}}{b^\frac{1}{2}} = (ab)^x \;\; \rightarrow \;\; [b = a^{-\frac{3}{4}}] \;\; \rightarrow \;\; \frac{a^{\frac{1}{3}}}{(a^{-\frac{3}{4}})^{\frac{1}{2}}} = (a.a^{-\frac{3}{4}})^x \;\; \rightarrow \\\\ \;\; \rightarrow \;\; \frac{a^\frac{1}{3}}{a^{-\frac{3}{8}}} = (a^1.a^{-\frac{3}{4}})^x \;\; \rightarrow \;\; a^{\frac{1}{3}+\frac{3}{8}} = (a^{1-\frac{3}{4}})^x \;\; \rightarrow \;\; a^{\frac{17}{24}} = (a^{\frac{1}{4}})^x \;\; \rightarrow \;\; \frac{17}{24} = \frac{1}{4}x \;\; \rightarrow \;\; x = \frac{17}{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{ab} \frac{\sqrt[3] a}{\sqrt b} = x \;\; \rightarrow \;\; \frac{\sqrt[3] a}{\sqrt b} = (ab)^x \;\; \rightarrow \;\; \frac{a^\frac{1}{3}}{b^\frac{1}{2}} = (ab)^x \;\; \rightarrow \;\; [b = a^{-\frac{3}{4}}] \;\; \rightarrow \;\; \frac{a^{\frac{1}{3}}}{(a^{-\frac{3}{4}})^{\frac{1}{2}}} = (a.a^{-\frac{3}{4}})^x \;\; \rightarrow \\\\ \;\; \rightarrow \;\; \frac{a^\frac{1}{3}}{a^{-\frac{3}{8}}} = (a^1.a^{-\frac{3}{4}})^x \;\; \rightarrow \;\; a^{\frac{1}{3}+\frac{3}{8}} = (a^{1-\frac{3}{4}})^x \;\; \rightarrow \;\; a^{\frac{17}{24}} = (a^{\frac{1}{4}})^x \;\; \rightarrow \;\; \frac{17}{24} = \frac{1}{4}x \;\; \rightarrow \;\; x = \frac{17}{6}[/tex3]

Obrigado