Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST)Logaritmos

[Brunojasp]

Seja a função f:[tex3]\mathbb{N}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathbb{N}[/tex3]

[tex3]\rightarrow[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]\mathbb{N}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathbb{N}[/tex3]

definida por:

*f(0) = 2
*f(n) = [f(n - 1)][tex3]^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]^{2}[/tex3]

para n [tex3]\geq[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\geq[/tex3]

1

Demonstre que:

Código: Selecionar tudo

[tex3]log_2 [f(n)][/tex3]

= [tex3]2^{n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{n}[/tex3]

[csmarcelo]

Pelas regras,

Código: Selecionar tudo

[tex3]f(0)=2=2^{2^0}[/tex3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]f(1)=f(1-1)^2=f(0)^2=2^2=2^{2^1}[/tex3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]f(2)=f(2-1)^2=f(1)^2=\left(2^2\right)^2=2^4=2^{2^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]f(3)=f(3-1)^2=f(2)^2=\left(\left(2^2\right)^2\right)^2=2^8=2^{2^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]f(4)=f(4-1)^2=f(3)^2=\left(\left(\left(2^2\right)^2\right)^2\right)^2=2^{16}=2^{2^4}[/tex3]

Generalizando,

Código: Selecionar tudo

[tex3]f(n)=2^{2^n}[/tex3]

Logo,

Código: Selecionar tudo

[tex3]\log_2[f(n)]=\log_2\left(2^{2^n}\right)=2^n\cdot\log_22=2^n\cdot1=2^n[/tex3]