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O ponto [tex3]H[/tex3]
está posicionado erroneamente no seu desenho.
[tex3]\overleftrightarrow{AM}[/tex3]
é bissetriz de [tex3]\hat{A}[/tex3]
e, portanto, [tex3]\alpha=15^\circ[/tex3]
.
[tex3]m(\hat{A})=m(\hat{J})=30^\circ\Rightarrow m(\hat{ACJ})=120^\circ[/tex3]
[tex3]\overleftrightarrow{CM}[/tex3]
é bissetriz de [tex3]\hat{C}[/tex3]
e, portanto, [tex3]\beta=60^\circ[/tex3]
.
Daí, concluímos que,
1) [tex3]\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)=180^\circ-(15^\circ+60^\circ)=105^\circ[/tex3]
2) [tex3]\epsilon=180^\circ-(\beta+\hat{MGC})-(60^\circ+90^\circ)=30^\circ[/tex3]
Assim, temos que [tex3]\theta=180^\circ-(105^\circ+30^\circ)=45^\circ[/tex3]
. Logo, o triângulo [tex3]MOG[/tex3]
é isósceles, de base [tex3]MO[/tex3]
e, portanto, [tex3]m(\overline{GO})=m(\overline{GM})=r[/tex3]
.
Os triângulos [tex3]MOJ[/tex3]
e [tex3]QOI[/tex3]
são semelhantes. Logo, o triângulo [tex3]QOF[/tex3]
também é isósceles, mas de base [tex3]QO[/tex3]
e, portanto, [tex3]m(\overline{OF})=m(\overline{QF})=R[/tex3]
.
[tex3]m(\overline{GF})=m(\overline{GO})+m(\overline{OF})=r+R[/tex3]