Ensino Médio

22 Jan 2015, 15:31

Qual o valor inteiro e positivo n para o qual existe um único inteiro k tal que [tex3]\frac{8}{15}[/tex3] < [tex3]\frac{n}{n + k}[/tex3] < [tex3]\frac{7}{13}[/tex3]

gabarito diz que é 112

22 Jan 2015, 17:16

inverte as desigualdades
$\frac{13}{7} < \frac{n+k}{n} < \frac{15}{8}$
subtrai 1
$\frac{6}{7} < \frac{k}{n} < \frac{7}{8}$
multiplica tudo por $56n$
$48n < 56k < 49n$
o intervalo $[48n,49n]$ tem tamanho $n$
Se o tamanho desse intervalo for maior que $56$ com certeza teremos um múltiplo de 56 dentro dele.
Veja que se $n>2\cdot56 = 112$ teremos com certeza dois valores possíveis de $k$ satisfazendo
$48n < 56k < 49n$
para mim a resposta é algo do tipo: $57 \leq n \leq 112$
veja:
Se $n=112$
$48 \cdot 112 < 56k < 59 \cdot 112$
$96 < k < 98 \rightarrow k=97$
se $n=57$
$48 \cdot 57 < 56k < 49 \cdot 57$
$k=49$ e de fato $\frac{57}{57+49}$ ta no intervalo

22 Jan 2015, 19:11

Olá sousóeu
obrigado pela solução das 5 questoes. nesta questao os valores de n são 57,58,59.....112 e a resposta fica 112 pq é a unica q tem nas alternativas?

22 Jan 2015, 19:18

De nada. Eu não vi a questão, mas deve ser isso, do contrário a resposta estaria incompleta.

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