Ensino FundamentalProdutos Notáveis Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Fundamental devem ser postados aqui (exceto problemas de Vestibulares).
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Hoshyminiag
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Jan 2015 15 20:44

Produtos Notáveis

Mensagem não lida por Hoshyminiag »

Resolver por métodos do E.F.:

Se x é um número real positivo e [tex3]x^{5} + \frac{1}{x^{5}}[/tex3] = 2, então x + [tex3]\frac{1}{x}[/tex3] é:

a) [tex3]\sqrt[3]{3}[/tex3]
b) [tex3]0,666666...[/tex3]
c) [tex3]1,99999...[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{\sqrt[5]{2}}[/tex3]
e) [tex3]\frac{1}{\sqrt[5]{3}}[/tex3]
Resposta

C

Editado pela última vez por MateusQqMD em 14 Abr 2020, 07:38, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
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emanuel9393
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Re: Produtos Notáveis

Mensagem não lida por emanuel9393 »

Olá!

Esse problema estará resolvido se alguém me ajudar a encontrar as raízes do polinômio:
[tex3]p(a) = a^5-3a^3+5a-2[/tex3]
Explicarei melhor.
Faça [tex3]\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=a[/tex3] . Temos que:
[tex3]\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2 = a^2-2 \\ \left(x^4+\dfrac{1}{x^4}\right)=\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2-2= a^4-2a^2+2[/tex3]
Além disso, temos que:
[tex3]\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)= \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=a^3-3a[/tex3]
Iremos nos propor a utilizar esses resultados na seguinte relação:
[tex3]\left(x^4+\dfrac{1}{x^4}\right)\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=\underbrace{\left(x^5+\dfrac{1}
{x^5}\right)}_{2}+\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)[/tex3]
Com isso:
[tex3](a^4-2a^2+2)a=2+(a^3-3a) \Rightarrow a^5-3a^3+5a-2=0[/tex3]
Por isso que precisamos encontrar as raízes desse polinômio.

Espero ter ajudado em algo.
Grande abraço! :wink:

Editado pela última vez por MateusQqMD em 14 Abr 2020, 07:38, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
As modernas teorias científica afirmam que em dentro de 5 bilhões de anos, a humanidade presenciará a morte do sol. Imagine como seria presenciar esse evento...
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Hoshyminiag
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Jan 2015 16 16:51

Re: Produtos Notáveis

Mensagem não lida por Hoshyminiag »

Caí na mesma equação!
Por inspeção, o 2 é raiz. Fiz o Briot-Ruffini, mas de nada me ajudou
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FilipeCaceres
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Re: Produtos Notáveis

Mensagem não lida por FilipeCaceres »

Olá, Galera!

Dica:
Reescrevendo temos:
[tex3]x^{10}-2x^5+1=0[/tex3]

Agora façam [tex3]x^5=a[/tex3] e então teremos [tex3]a^2-2a+1=0[/tex3]

Resolvam em [tex3]a[/tex3] e depois descubram o valor correspondente de [tex3]x[/tex3] , lembrando que [tex3]x=\sqrt[5]{a}[/tex3] .

Descoberto o valor de [tex3]x[/tex3] , basta substituir em [tex3]x+\frac{1}{x}[/tex3] .

Abraço.
Editado pela última vez por MateusQqMD em 14 Abr 2020, 07:39, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
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Hoshyminiag
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Jan 2015 16 17:17

Re: Produtos Notáveis

Mensagem não lida por Hoshyminiag »

Ótima ideia, FilipeCaceres!
Muito Obrigado, pessoal!

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