Ensino Fundamental ⇒ Equações Irracionais Tópico resolvido

[jomatlove]

Alguém pode me ajudar?
Resolver [tex3]\sqrt[5]{2x-3} + \sqrt[5]{3x+7} = \sqrt[5]{5x+4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[5]{2x-3} + \sqrt[5]{3x+7} = \sqrt[5]{5x+4}[/tex3]

.

Grato!!!

[PedroCunha]

Olá, jomatlove.

Seja

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[tex3]a = 2x-3[/tex3]

e

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[tex3]b = 3x+7[/tex3]

. Então:

Note que

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[tex3]5x+4 = (2x-3) + (3x+7)[/tex3]

.

Então:

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[tex3]\sqrt[5]{a} + \sqrt[5]{b} = \sqrt[5]{a+b} \therefore (\sqrt[5]a + \sqrt[5]b)^5 = \sqrt[5]{a+b}^5 \therefore \\\\ a + 5\sqrt[5]{a^4b} + 10\sqrt[5]{a^3b^2} + 10\sqrt[5]{a^2b^3} + 5\sqrt[5]{ab^4} + b = a+b \therefore \\\\ \sqrt[5]{a^4b} + 2\sqrt[5]{a^3b^2} + 2\sqrt[5]{a^2b^3} + \sqrt[5]{ab^4} = 0 \therefore \\\\ \sqrt[5]{ab} \cdot (\sqrt[5]{a^3} + 2\sqrt[5]{a^2b} + 2\sqrt[5]{ab^2} + \sqrt[5]{b^3}) = 0 \\\\ \circ \sqrt[5]{ab} = 0 \Leftrightarrow a = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \text{ ou } b = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{7}{3} \\\\ \circ \sqrt[5]{a^3} + \sqrt[5]{b^3} + 2\sqrt[5]{ab} \cdot (\sqrt[5]{a} + \sqrt[5]{b}) = 0 \therefore \\\\ (\sqrt[5]{a} + \sqrt[5]{b}) \cdot (\sqrt[5]{a}^2 - \sqrt[5]{ab} + \sqrt[5]{b}^2) + 2\sqrt[5]{ab} \cdot (\sqrt[5]{a} + \sqrt[5]{b}) = 0 \therefore \\\\ (\sqrt[5]{a} + \sqrt[5]{b}) \cdot (\sqrt[5]{a}^2 + \sqrt[5]{ab} + \sqrt[5]{b}^2) = 0 \\\\\ \circ \sqrt[5]{a} = -\sqrt[5]{b} \Leftrightarrow 2x-3 = -3x-7 \Leftrightarrow x = -\frac{4}{5} \\\\

\circ \sqrt[5]{a}^2 + \sqrt[5]{ab} + \sqrt[5]{b}^2 = 0 \Leftrightarrow \text{ \'{U}nica raiz real \'{e} } a = b = 0 .[/tex3]

Logo, o conjunto solução da equação é:

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[tex3]S = \left\{ x \in \mathbb{R} | x = \frac{3}{2} \text{ ou } x = -\frac{7}{3} \text{ ou } x = -\frac{4}{5} \right\}[/tex3]

.

Questão interessante. Qual é a fonte?

Abraços,
Pedro

[jomatlove]

Boa noite Pedro Cunha!
Mais uma vez, muito obrigado pela sua colaboração.Veleu mesmo!Quanto à fonte:são questões avulsas de um site canadense de matemática.

Até a próxima!!!