Ensino Médio

[tex3]\sqrt{2x^{2}+ 3x + 5} + \sqrt{2x^{2}- 3x + 5}[/tex3] = 3x

O conjunto solução da equação possui raizes:
a) não reais
b) negativas
c) irracionais
d) simétricas
e) inteiras

Olá!
Empregando a troca y=2 [tex3]x^{2}[/tex3] +5,na equação dada,vem:
[tex3]\sqrt{y+3x} + \sqrt{y-3x}[/tex3] =3x.
Elevando ao quadrado os membros dessa equação:
y+3x+y-3x+2 [tex3]\sqrt{y^{2}-9x^{2}}[/tex3] =9 [tex3]x^{2}[/tex3] .
Simplificando:
2 [tex3]\sqrt{y^{2}-9x^{2}} = 9x^{2}[/tex3] -2y
Novamente ao quadrado:
[tex3]4y^{2} - 36x^{2} = 81x^{4} - 36x^{2}y + 4y^{2}[/tex3]
Cancelando e reduzindo:
[tex3]81x^{4} - 36x^{2}y + 36x^{2}[/tex3] =0
Fatorando,vem;
[tex3]x^{2}[/tex3] ([tex3]81x^{2}[/tex3] -36y+36)=0

Daí,resulta:
1)[tex3]x^{2}[/tex3] =0.Mas,observamos x=0 não é raiz da equação.
2)[tex3]81x^{2}[/tex3] -36y+36=0(usando y=[tex3]2x^{2}+5[/tex3] )
[tex3]81x^{2}[/tex3] -36([tex3]2x^{2}+5[/tex3] )+36=0
[tex3]x^{2}[/tex3] =16 [tex3]\rightarrow x=4[/tex3] ou x=-4(não serve)

Olá a todos,

Há um truque muito útil para resolver o problema. Segunda solução:
$\sqrt{2x^{2}+ 3x + 5}+\sqrt{2x^{2}- 3x + 5}=3x$
$\small \sqrt{2x^{2}+ 3x + 5}+\sqrt{2x^{2}- 3x + 5}\left(\frac{\sqrt{2x^{2}+ 3x + 5}-\sqrt{2x^{2}- 3x + 5}}{\sqrt{2x^{2}+ 3x + 5}-\sqrt{2x^{2}- 3x + 5}}\right)=\frac{6x}{\sqrt{2x^{2}+ 3x + 5}-\sqrt{2x^{2}- 3x + 5}}$
$\sqrt{2x^{2}+ 3x + 5}-\sqrt{2x^{2}- 3x + 5}=2 \implies \begin{cases} \sqrt{2x^{2}+ 3x + 5}+\sqrt{2x^{2}- 3x + 5}=3x \\ \sqrt{2x^{2}+ 3x + 5}-\sqrt{2x^{2}- 3x + 5}=2 \end{cases}$
Somando:
$\small 2\sqrt{2x^{2}+ 3x + 5}=3x+2 \iff 4(2x^2+3x+5)=9x^2+12x+4 \implies 16-x^2=0$
$\therefore x= \pm 4$

Como $\sqrt{2x^{2}+ 3x + 5}+\sqrt{2x^{2}- 3x + 5} >0\ \ \forall x \in R$
$x=4$ é a única solução, pois $3x<0 \ \forall x<0 \ \in R$
Letra E
Abraço !

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