Pré-Vestibular

Mensagem não lidapor **kiritoITA** » 06 Jan 2015, 20:18 · Mensagem não lida por **kiritoITA** » 06 Jan 2015, 20:18

De um ponto p dos cais, João observa um barco AB ancorado. Para um sistema de eixos ortogonais , os pontos A e B têm coordenadas respectivamente iguais a (0,20) e (0,40),enquanto P encontra-se no semi-eixo positivo das abcissas. Se o ângulo em P , sobre o triângulo APB , é máximo , então a abscissa de P é igual a:
A)[tex3]20\sqrt{2}[/tex3]
B)[tex3]20\sqrt{3}[/tex3]
C)[tex3]20[/tex3]
D)[tex3]15[/tex3]
E)[tex3]10[/tex3]

Resposta

A

Mensagem não lidapor **Vinisth** » 07 Jan 2015, 02:06 · Mensagem não lida por **Vinisth** » 07 Jan 2015, 02:06

Olá kiritoITA,

: asfd.png (4.97 KiB) Exibido 1751 vezes

Sendo a origem O(0,0), o ponto P(x,0) e chamando o ângulo APO de $\alpha$ e APC de $\beta$
$\tan \alpha = \frac{20}{x}, \ \ \tan(\alpha +\beta)=\frac{\frac{20}{x}+\tan \beta }{1-\frac{20}{x}\tan \beta}=\frac{40}{x} \iff \tan \beta=\frac{20x}{x^2+800}$
Quando $\beta$ é máximo, $\tan \beta$ é máximo. Então:
$(\tan \beta)'=\frac{20(x^2+800)-40x^2}{(x^2+800)^2}=0 \implies x^2=800$
$\therefore x=20\sqrt{2}$

Abraço !

Mensagem não lidapor **kiritoITA** » 07 Jan 2015, 13:59 · Mensagem não lida por **kiritoITA** » 07 Jan 2015, 13:59

Vinisth escreveu:Olá kiritoITA,

asfd.png
Sendo a origem O(0,0), o ponto P(x,0) e chamando o ângulo APO de $\alpha$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\alpha[/tex3]
e APC de $\beta$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\beta[/tex3]

$\tan \alpha = \frac{20}{x}, \ \ \tan(\alpha +\beta)=\frac{\frac{20}{x}+\tan \beta }{1-\frac{20}{x}\tan \beta}=\frac{40}{x} \iff \tan \beta=\frac{20x}{x^2+800}$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\tan \alpha = \frac{20}{x}, \ \ \tan(\alpha +\beta)=\frac{\frac{20}{x}+\tan \beta }{1-\frac{20}{x}\tan \beta}=\frac{40}{x} \iff \tan \beta=\frac{20x}{x^2+800}[/tex3]

Quando $\beta$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\beta[/tex3]
é máximo, $\tan \beta$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\tan \beta[/tex3]
é máximo. Então:
$(\tan \beta)'=\frac{20(x^2+800)-40x^2}{(x^2+800)^2}=0 \implies x^2=800$
Código: Selecionar tudo
[tex3](\tan \beta)'=\frac{20(x^2+800)-40x^2}{(x^2+800)^2}=0 \implies x^2=800[/tex3]

$\therefore x=20\sqrt{2}$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\therefore x=20\sqrt{2}[/tex3]

Abraço !

acho que nao entendi direito , vc derivou man?
poderia explciar melhor esse passo da maximização da tangente do angulo?

Mensagem não lidapor **Vinisth** » 07 Jan 2015, 19:38 · Mensagem não lida por **Vinisth** » 07 Jan 2015, 19:38

Quanto maior o ângulo, maior é o valor da tangente. Então o exercício torna em maximizar isso $\frac{20x}{x^2+800}$ , que por meio da derivada, você pode obter o valor crítico (máximo).

Mensagem não lidapor **LucasPinafi** » 07 Jan 2015, 23:35 · 07 Jan 2015, 23:35

Olá
Não. Ele apenas usou a fórmula $(f/g)'=\frac{f'g-g'f}{g^2}$ onde g e f são funções de x.

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