Pré-Vestibular ⇒ (UNIGRANRIO-2015) Geometria trapézio Tópico resolvido

[marce]

Um trapézio retângulo ABCD de base menor BC x = , base maior AD y = e com os ângulos retos situados nos vértices C e
D, foi dividido em três triângulos retângulos com o auxílio dos segmentos AM e BM , onde M é um ponto do segmento
CD. Sabendo que CM y = , DM x = e AM BM z = = , pode-se afirmar que a área deste trapézio vale:
A) XY/2+ [tex3]Z^{2}[/tex3]

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[tex3]Z^{2}[/tex3]

/2
B) 2XY + [tex3]Z^{2}[/tex3]

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[tex3]Z^{2}[/tex3]

/2
C) XY + [tex3]Z^{2}[/tex3]

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[tex3]Z^{2}[/tex3]

/2
D) XY + [tex3]Z^{2}[/tex3]

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[tex3]Z^{2}[/tex3]

E)[tex3]X^{2} + Y^{2} + Z^{2}[/tex3]

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[tex3]X^{2} + Y^{2} + Z^{2}[/tex3]

/2

a RESPOSTA É A LETRA C

[soulful]

Veja o desenho anexado. A reta de cor diferente não está descrita no exercício, ela foi feita para ajudar a calcaular a área do trapézio.
A área do trapézio vai ser igual a área do retângulo: A_r = x(x+y) mais a área do triângulo (que está a esquerda). A_tri = (y-x)*(y+x)/2.

Somando temos A = A_r + A_tri = [tex3]x^{2} + xy +\frac{ (y^{2} - x^2) }{2} = \frac{ (y^{2} + x^2) }{2} + xy (1)[/tex3]

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[tex3]x^{2} + xy +\frac{ (y^{2} - x^2) }{2} = \frac{ (y^{2} + x^2) }{2} + xy (1)[/tex3]

Pelo triângulo ADM tem-se que [tex3]z^{2} = x^{2} + y^{2} \rightarrow[/tex3]

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[tex3]z^{2} = x^{2} + y^{2} \rightarrow[/tex3]

Dividindo tudo por 2 tem-se [tex3]\frac {z^{2}} {2 }= \frac{x^{2} + y^{2}}{2} (2)[/tex3]

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[tex3]\frac {z^{2}} {2 }= \frac{x^{2} + y^{2}}{2} (2)[/tex3]

Substituindo (2) em (1) chegamos na resposta:
A = [tex3]z^{2} +xy[/tex3]

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[tex3]z^{2} +xy[/tex3]