Ensino Médio

Gu178 · Mensagem não lida por **Gu178** » Sáb 27 Dez, 2014 23:05

Oi pessoal, tudo bem?

Eu estava resolvendo os exercícios do livro do Iezzi e vi uma parte do livro em que ele explica como se resolve um exercício para obter a circunferência quando se tem dois pontos e uma reta tangente, eu entendi a explicação mas ao tentar resolver o exercício abaixo eu não consegui.

Ache as circunferências que passam por P(1,1) e P'(8,0) e são tangentes à reta t: x=0

Fiz tudo conforme a explicação mas não consegui de jeito nenhum, se alguém poder me ajudar eu agradeço.

R:[tex3](x-5)^2+(y-4)^2=25[/tex3] ou [tex3](x-\frac{205}{49})^2+(y+\frac{12}{7})^2=(\frac{205}{49})^2[/tex3]

Olá, Gu178.
Tudo bem?
Esse problema pode ser resolvido algebricamente da seguinte maneira:
A distância de uma reta tangente à circunferência até o seu centro é sempre igual ao raio da circunferência. Assim, e lembrando da fórmula:
$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ , onde $ax+by+c=0$ é uma reta e $(x_0,y_0)$ é um ponto.
Assim, a distância da reta $x=0$ até o centro $(x_0,y_0)$ da circunferência é:
$d=r=\frac{|x_0+0y_0+0|}{\sqrt{1^2+0}} \Longleftrightarrow r=x_0$
Dessa forma, a equação dessa circunferência é:
$(x-r)^2+(y-y_0)^2=r^2$
Usando os pontos dados:
$(1-r)^2+(1-y_0)^2=r^2 \Rightarrow 1-2r+r^2+1-2y_0+y_0^2=r^2$
$2-2y_0+y_0^2=2r \Rightarrow r=\frac{2-2y_0+y_0^2}{2}$
$(8-r)^2+(0-y_0)^2=r^2 \Rightarrow 64-16r+r^2+y_0^2=r^2 \Rightarrow r= \frac{64+y_0^2}{16}$
Logo:
$\frac{2-2y_0+y_0^2}{2}=\frac{64+y_0^2}{16} \Rightarrow 16-16y_0+8y_0^2=64+y_0^2$
$7y_0^-16y_0-48=0$
$\therefore y_0=\frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2-4.7.(-48)}}{14}=\frac{16 \pm 40}{14}$
$y_0=4$ ou $y_0=-\frac{12}{7}$
Agora, podemos calcular $r$ :
$r=\frac{64+16}{16}=5$
ou
$r=4+\frac{9}{49}=\frac{205}{49}$
Como $x_0=r$ , podemos montar as equações:
$(x-5)^2+(y-4)^2=25$
e
$(x-\frac{205}{49})^2+(y+ \frac{12}{7})=(\frac{205}{49})^2$
Espero ter ajudado, Abraços !

Gu178 · Mensagem não lida por **Gu178** » Dom 28 Dez, 2014 10:56

Nossa, muito obrigado mesmo, me ajudou bastante. Obrigado.

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