Pré-Vestibular(UEPG-2014) Triângulos Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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FabioKatsuo
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(UEPG-2014) Triângulos

Mensagem não lida por FabioKatsuo »

Em um triângulo, as medidas dos lados, em cm, são números inteiros consecutivos e o ângulo maior é igual ao dobro do ângulo menor. Se o cosseno do ângulo menor vale [tex3]\frac{3}{4}[/tex3] assinale o que for correto.

01) O perímetro do triângulo é igual a 15 cm.
02) a altura relativa do lado maior é igual a [tex3]\frac{\sqrt{7}}{4}[/tex3] cm
04) O seno do ângulo maior vale [tex3]\frac{3\sqrt{7}}{8}[/tex3] .
08) A área do triângulo vale [tex3]\frac{15\sqrt{7}}{4}[/tex3] cm²
16) O triângulo é obtusângulo.
Resposta

Soma:13

Última edição: caju (Dom 01 Out, 2017 01:11). Total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3



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LucasPinafi
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Dez 2014 09 11:00

Re: (UEPG-2014) Triângulos

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Lembrando que num triângulo qualquer, os lados menores são opostos aos menores ângulos. Seja então o lados x, x+1, x+2 onde x é um número inteiro, e os ângulos z, w, y onde z é o menor ângulo, w é oposto ao lado x+1 e y é oposto ao lado x+2. O exercício nos informa que y=2z, e que cos z=3/4. Podemos então calcular o valor do cosseno de y, aplicando uma identidade trigonométrica do arco duplo:
[tex3]cos(2z)=cos y=2cos^2z-1=2.\frac{9}{16}-1=\frac{1}{8}\rightarrow cos y=\frac{1}{8}[/tex3]
01) Inicialmente calculamos o seno de y e z:
[tex3]sen^2z=1-(\frac{3}{4})^2\rightarrow sen z=\frac{\sqrt{7}}{4}[/tex3]
[tex3]sen^2y=1-\left(\frac{1}{8}\right)^2\rightarrow sen y=\frac{3\sqrt{7}}{8}[/tex3]
Agora, para calcular o valor de x, aplicamos a regra do seno:
[tex3]\frac{sen z}{x}=\frac{sen y}{x+2}[/tex3]
Resolvendo essa equação, obtemos [tex3]x=4[/tex3]
Então, o perímetro do triângulo é 4+5+6=15
02) Passando um segmento de reta com origem no vértice oposto ao lado x+2 até ao mesmo lado, teremos que a altura relativa h ao lado x+2 é:
[tex3]sen z=\frac{h}{x+1}\rightarrow h=5 \frac{\sqrt{7}}{4}[/tex3]
04) Já obtemos esse resultado anteriormente.
08) Usando a altura que encontramos em "02", temos que a área do triângulo é:
[tex3]A=\frac{6.5\frac{\sqrt{7}}{4}}{2}=\frac{15\sqrt{7}}{4}[/tex3]
16) Como o cosseno do maior ângulo é positivo, o triângulo é acutângulo.

Última edição: caju (Dom 01 Out, 2017 01:11). Total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3


Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia

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