Maratonas de Física ⇒ I Maratona de Física FUVEST/UNICAMP

[PedroCunha]

Temos o prazer de anunciar a primeira Maratona de Física voltada para FUVEST/UNICAMP do TutorBrasil.

As regras são bem simples e devem ser seguidas à risca:

I: Cada usuário deverá colocar em sua postagem a resposta da pergunta anterior e uma pergunta nova (com o gabarito dentro da tag spoiler). Friso novamente: deverão ser colocadas na mesma mensagem a resposta da pergunta anterior e a nova pergunta (com o gabarito dentro da tag spoiler);

*Questões sem gabarito deverão ser postadas na área Pré-Vestibular do Fórum e não na Maratona*.

II: Todas as perguntas e respostas deverão fazer uso do LaTeX (tutorial aqui: http://www.tutorbrasil.com.br/tutoriais ... r-equacoes );

III: As respostas deverão ser feitas da mesma maneira que você, o usuário, faria se fosse entregar a resposta de uma questão discursiva à banca da FUVEST/UNICAMP;

IV: Todas as questões devem ser da FUVEST/UNICAMP, com o respectivo ano de aplicação;

V: Uma questão nova só deverá ser postada quando a antiga for respondida. Se após um período de 36 horas a questão não for respondida, a mesma será retirada da Maratona e movida para a área Pré-Vestibular do Fórum, de forma a continuarmos a Maratona;

VI: Antes de postar uma questão, faça uma busca no Fórum para garantir que a mesma já não tenha sido postada;

VII: As questões devem ser numeradas na ordem crescente.

O não cumprimento das regras acarretará na exclusão da maratona; este tópico será constantemente monitorado de forma a garantir que as regras sejam seguidas.

Segue um exemplo de como deverão ser as postagens:

Problema 1

(FUVEST/UNICAMP - Ano de aplicação ) Enunciado da questão

Código: Selecionar todos

[spoiler] gabarito [/spoiler]

Quem for resolver o problema:

Solução do problema 1

Descrever a solução

Problema 2

(FUVEST/UNICAMP - Ano de aplicação ) Enunciado da questão

Código: Selecionar todos

[spoiler] gabarito [/spoiler]

Segue o link para a I Maratona de Matemática FUVEST/UNICAMP, para servir como exemplo de postagem:

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/glo ... 39649.html

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Problema 1

(FUVEST-2003) Uma jovem viaja de uma cidade A para uma cidade B, dirigindo um automóvel por uma estrada muito estreita. Em um certo trecho, em que a estrada é reta e horizontal, ela percebe que seu carro está entre dois caminhões–tanque bidirecionais e iguais, como mostra a figura. A jovem observa que os dois caminhões, um visto através do espelho retrovisor plano, e o outro, através do pára-brisa, parecem aproximar-se dela com a mesma velocidade. Como o automóvel e o caminhão de trás estão viajando no mesmo sentido, com velocidades de [tex3]40km/h[/tex3] e [tex3]50km/h[/tex3], respectivamente, pode-se concluir que a velocidade do caminhão que está à frente é

FUVEST 2003.png (2.86 KiB) Exibido 14930 vezes

a) [tex3]50km/h[/tex3] com sentido de A para B
b) [tex3]50km/h[/tex3] com sentido de B para A
c) [tex3]40km/h[/tex3] com sentido de A para B
d) [tex3]30km/h[/tex3] com sentido de B para A
e) [tex3]30km/h[/tex3] com sentido de A para B.

Resposta

---

Alternativa e

[jrneliodias]

Solução do problema 1

A velocidade relativa entre o carro e o caminhão de trás possui rapidez equivalente a [tex3]10\,\,km/h[/tex3] no sentido de A para B, pois será a diferença dos módulos da velocidade do caminhão e do carro em relação a Terra.

É dito que o caminhão da frente se aproxima com a mesma velocidade, logo a relativa entre o caminhão da frente e o carro será esse valor. Supondo que o caminhão possua sentido contrário ao do carro, a velocidade relativa será obtida através do soma dos módulos das velocidades, dessa forma, obteremos [tex3]-30\,\,km[/tex3] o que indica que o caminhão da frente possue a mesma velocidade que o carro.

Letra E.

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Problema 2

(Fuvest - 2010) Numa filmagem, no exato instante em que um caminhão passa por uma marca no chão, um dublê se larga de um viaduto para cair dentro de sua caçamba. A velocidade v do caminhão é constante e o dublê inicia sua queda a partir do repouso, de uma altura de 5 m da caçamba, que tem 6 m de comprimento. A velocidade ideal do caminhão é aquela em que o dublê cai bem no centro da caçamba, mas a velocidade real v do caminhão poderá ser diferente e ele cairá mais à frente ou mais atrás do centro da caçamba. Para que o dublê caia dentro da caçamba, v pode diferir da velocidade ideal, em módulo, no máximo:

a) 1 m/s.
b) 3 m/s.
c) 5 m/s.
d) 7 m/s.
e) 9 m/s.

Resposta

---

Letra B

[PedroCunha]

Solução do problema 2

O tempo de queda do dublê é:

[tex3](0 + 10t)^2 = 0^2 + 2 \cdot 10 \cdot 5 \Leftrightarrow t = 1s[/tex3]

Para o dublê cair no centro da caçamba, a velocidade do caminhão deve ser:

[tex3]v = \frac{3}{1} = 3m/s[/tex3]

A diferença máxima em módulo é [tex3]3m/s[/tex3], sendo o sentido para frente ou para atrás (adiantado ou atrasado), visto que:

[tex3]v_{max} = \frac{6}{1} = 6m/s[/tex3]

Assim: [tex3]|\triangle v| = 3m/s[/tex3].

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Problema 3

(FUVEST-2011) Uma menina, segurando uma bola de tênis, corre com velocidade constante, de módulo igual a [tex3]10,8km/h[/tex3], em trajetória retilínea, numa quadra plana e horizontal. Num certo instante, a menina, com o braço esticado horizontalmente ao lado do corpo, sem alterar o seu estado de movimento, solta a bola, que leva 0,5s para atingir o solo. As distâncias [tex3]s_m[/tex3] e [tex3]s_b[/tex3] percorridas, respectivamente, pelo menina e pela bola, na direção horizontal, entre o instante em que a menina soltou a bola [tex3](t = 0s)[/tex3] e o instante [tex3]t = 0,5s[/tex3], valem:

a) [tex3]s_m = 1,25m[/tex3] e [tex3]s_b = 0m[/tex3]
b) [tex3]s_m = 1,25,m[/tex3] e [tex3]s_b = 1,50 m[/tex3]
c) [tex3]s_m = 1,50m[/tex3] e [tex3]s_b = 0m[/tex3]
d) [tex3]s_m = 1,50m[/tex3] e [tex3]s_b = 1,25m[/tex3]
e) [tex3]s_m = 1,50m[/tex3] e [tex3]s_b = 1,50m[/tex3]

Resposta

---

Alternativa e

[Ittalo25]

Solução do problema 3

A menina e a bola têm a mesma velocidade na horizontal e como essa velocidade é constante, pode-se usa a fórmula:

[tex3]S = S_0 + v.t[/tex3]

Considerando [tex3]S_0[/tex3] como a origem:

[tex3]S = 0 + v.t = s_m = s_b[/tex3]

[tex3]S = \frac{10,8.0,5}{3,6} = s_m = s_b[/tex3]

[tex3]1,5 m/s = s_m = s_b[/tex3]

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Problema 4

(Fuvest - 1999) Um pêndulo, constituído de uma pequena esfera, com carga elétrica q = [tex3]+2,0.10^{-9}[/tex3] C e massa m= [tex3]3\sqrt{3}.10^{-4}[/tex3] kg, ligada a uma haste eletricamente isolante, de comprimento d=0,40m, e massa desprezível, é colocado num campo elétrico constante E ([tex3]|E| = 1,5.10^6 N/C[/tex3]). Esse campo é criado por duas placas condutoras verticais, carregadas eletricamente. O pêndulo é solto na posição em que a haste forma um ângulo [tex3]\alpha[/tex3] = 30° com a vertical (ver figura) e, assim, ele passa a oscilar em torno de uma posição de equilíbrio. São dados sen30° = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]; sen45° = [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]; sen60° = [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]. Na situação apresentada, considerando-se desprezíveis os atritos, determine:

seno.png (12.55 KiB) Exibido 14884 vezes

a) Os valores dos ângulos, [tex3]\alpha[/tex3] que a haste forma com a vertical, na posição de equilíbrio, e [tex3]\alpha _2[/tex3], que a haste forma com a vertical na posição de máximo deslocamento angular.

b) A energia cinética K, da esfera, quando ela passa pela posição de equilíbrio.

Resposta

---

a) [tex3]\alpha[/tex3]=30°, [tex3]\alpha _2[/tex3]=90°
b) [tex3]k = 1,2.10^{-3}J[/tex3]

[PedroCunha]

Solução do problema 4

Letra a:

No posição de equilíbrio, a resultante das forças é nula. Decompondo-as:

[tex3]\begin{cases}

T \sen \alpha_1 = |F_e| = 3,0 \cdot 10^{-3}N \\
T \cos \alpha_1 = F_p = 3\sqrt3,0 \cdot 10^{-3} N

\end{cases} \Leftrightarrow \tan \alpha_1 = \frac{\sqrt3}{3} \Leftrightarrow \alpha_1 = 30^{\circ}[/tex3]

Assim, [tex3]\alpha_2 = \alpha_1 + (\alpha_1 + \alpha) = 90^{\circ}[/tex3]

Letra b:

Seja [tex3]A[/tex3] o ponto inicial e [tex3]B[/tex3] o ponto de equilíbrio. Temos:

[tex3]\delta_t = \triangle E_c \therefore \cancelto{0}{\delta_p} + \cancelto{0}{\delta_t} + \delta_{Fe} = E_{cB} - \cancelto{0}{E_{cA}} \therefore 2,0 \cdot 10^{-9} \cdot 1,5 \cdot 10^6 \cdot 0,40 = E_{cB} \\\\ \boxed{\boxed{E_{cB} = k = 1,2 \cdot 10^{-3} J }}[/tex3]

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Problema 5

(UNICAMP-2012) Em setembro de 2010, Júpiter atingiu a menor distância da Terra em muitos anos. As figuras abaixo ilustram a situação de maior afastamento e a de maior aproximação dos planetas, considerando que suas órbitas são circulares, que o raio da órbita terrestre [tex3](RT)[/tex3] mede [tex3]1,5 \times 10^{11} m[/tex3] e que o raio da órbita de Júpiter [tex3](RJ)[/tex3] equivale a [tex3]7,5 \times 10^{11}m[/tex3].

Sem título.png (21.6 KiB) Exibido 14873 vezes

A força gravitacional entre dois corpos de massas [tex3]m_1[/tex3] e [tex3]m_2[/tex3] tem módulo [tex3]F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}[/tex3] , em que [tex3]r[/tex3] é a distância entre eles e [tex3]G = 6,7 \cdot 10^{-11} \frac{Nm^2}{Kg^2}[/tex3]. Sabendo que a massa de Júpiter é [tex3]m_J = 2,0 \times 10^{27} kg[/tex3] e que a massa da Terra é [tex3]m_T = 6,0 \times 10^{24} kg[/tex3], o módulo da força gravitacional entre Júpiter e a Terra no momento de maior proximidade é

a) [tex3]1,4 \times 10^{18} N[/tex3] .
b) [tex3]2,2 \times 10^{18} N[/tex3].
c) [tex3]3,5 \times 10^{19} N[/tex3] .
d) [tex3]1,3 \times 10^{30} N[/tex3] .

Resposta

---

Alternativa b

[Ittalo25]

Solução do problema 5

Da imagem e do enunciado tem-se:

[tex3]F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}[/tex3]

[tex3]F = 6,7 \cdot 10^{-11}
\cdot \frac{2,0 \times 10^{27} \cdot 6,0 \times 10^{24}}{(RJ-RT)^2}[/tex3]

[tex3]F = 6,7 \cdot 10^{-11}
\cdot \frac{2,0 \times 10^{27} \cdot 6,0 \times 10^{24}}{(7,5 \times 10^{11}-1,5 \times 10^{11})^2}[/tex3]

[tex3]F = 2,2 \times 10^{18} N[/tex3]

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Problema 6

(Fuvest-2000) Uma onda eletromagnética propaga-se no ar com velocidade praticamente igual à luz no vácuo [tex3](c=3.10^{8}m/s)[/tex3], enquanto o som propaga-se no ar com velocidade aproximada de 330 m/s. Deseja-se produzir uma onda audível que se propague no ar com o mesmo comprimento de onda daquelas utilizadas para transmissões de rádio em freqüência modulada (FM) de 100 MHz ([tex3]100.10^{6}[/tex3] Hz). A freqüência da onda audível deverá ser aproximadamente:

a) [tex3]110[/tex3] Hz
b) [tex3]1033[/tex3] Hz
c) [tex3]11000[/tex3] Hz
d) [tex3]10^{8}[/tex3] Hz
e) [tex3]9\cdot 10^{13}[/tex3] Hz

Resposta

---

a)

[PedroCunha]

Solução do problema 6

Aplicando a Lei Fundamental da Ondulatória:

[tex3]v = \lambda \cdot f_{e_m} \therefore 3 \cdot 10^8 = \lambda \cdot 10^8 \therefore \lambda = 3m[/tex3]

Logo:

[tex3]330 = 3 \cdot f_{o_a} \Leftrightarrow f_{o_a} = 110Hz[/tex3]


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Problema 7

(FUVEST 2007) Dois recipientes iguais A e B, contendo dois líquidos diferentes, inicialmente a 20°C, são colocados sobre uma placa térmica, da qual recebem aproximadamente a mesma quantidade de calor. Com isso, o líquido em A atinge 40°C, enquanto o líquido em B, 80°C. Se os recipientes forem retirados da placa e seus líquidos misturados, a temperatura final da mistura ficará em torno de:

Sem título.png (4.82 KiB) Exibido 14848 vezes

a) 45°C
b) 50°C
c) 55°C
d) 60°C
e) 65°C

Resposta

---

Alternativa b

[LucasPinafi]

Solução do problema 7

Se a quantidade de calor fornecida para o líquido A e B é aproximadamente a mesma:
[tex3]C_A=\frac{Q}{\Delta \theta_A}\rightarrow Q=C_A\Delta \theta _A[/tex3] (i)
[tex3]C_B=\frac{Q}{\Delta \theta _B}\rightarrow Q=C_B\Delta \theta _B[/tex3] (ii)
onde C é a capacidade térmica, Q a quantidade de calor fornecida e [tex3]\Delta \theta[/tex3] a variação de temperatura.
Igualando (i) e (ii):
[tex3]C_A\Delta \theta _A=C_B\Delta\theta _B\rightarrow C_A(40-20)=C_B(80-20)\rightarrow C_A=3C_B[/tex3]
Quando os líquidos estiverem em contato, temos:
[tex3]\sum_{}^{}Q=0\rightarrow C_A(\theta _F-40)+C_B(\theta _F-80)=0[/tex3]
[tex3]3C_B(\theta _F-40)+C_B(\theta _F-80)\rightarrow 4\theta _F=200\rightarrow \theta _F=50[/tex3]
A temperatura final da mistura será de 50°C.

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Problema 8

(Fuvest-1993) Um elétron penetra numa região de campo elétrico uniforme de intensidade 90 N/C, com velocidade inicial [tex3]v_0=3,0.10^6[/tex3] m/s na mesma direção e sentido do campo. Sabendo-se que a massa do elétron é igual a [tex3]m_e=9,0.10^{-31}[/tex3] kg e a carga do mesmo é [tex3]q=-1,6.10^{-19}[/tex3] C, determine:
a) a energia potencial elétrica no instante em que a velocidade do elétron, no interior desse campo é nula.
b) a aceleração do elétron.

Resposta

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a) [tex3]E_pel=40,5.10^{-19}[/tex3] J b)[tex3]a=16.10^{12}[/tex3] m/s²

[PedroCunha]

Solução do problema 8

Letra a:

Quando a velocidade for nula, toda a energia cinética terá se convertido em energia potencial elétrica. Assim:

[tex3]E_{pe} = \frac{9,0 \cdot 10^{-31} \cdot 9,0 \cdot 10^{12} }{2} = 4,05 \cdot 10^{-18}J[/tex3]

Letra b:

Em um campo elétrico uniforme:

[tex3]\vec{F} = \vec{E} \cdot |q| \therefore m \cdot \vec{a} = \vec{E} \cdot |q| \therefore \cancel{9,0} \cdot 10^{-31} \cdot a = \cancel{9,0} \cdot 10 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \Leftrightarrow \\\\ a = 1,6 \cdot 10^{13}m/s[/tex3]

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Problema 9

(FUVEST-2001) Duas pequenas esferas, com cargas positivas e iguais a [tex3]Q[/tex3], encontram-se fixas sobre um plano, separadas por uma distância [tex3]2a[/tex3]. Sobre esse mesmo plano, no ponto [tex3]P[/tex3], a uma distância [tex3]2a[/tex3] de cada uma das esferas, é abandonada uma partícula com massa [tex3]m[/tex3] e carga [tex3]q[/tex3] negativa. Desconsidere o campo gravitacional e efeitos não eletrostáticos.

Eletrostática.png (4.95 KiB) Exibido 14842 vezes

Determine, em função de [tex3]Q, K, q, m[/tex3] e [tex3]a[/tex3],

a) A diferença de potencial eletrostático [tex3]V = V_0 - V_P[/tex3] , entre os pontos [tex3]O[/tex3] e [tex3]P[/tex3].
b) A velocidade [tex3]v[/tex3] com que a partícula passa por [tex3]O[/tex3].
c) A distância máxima [tex3]D_{\text{m\'{a}x}}[/tex3] , que a partícula consegue afastar-se de [tex3]P[/tex3]. Se essa distância for muito grande, escreva [tex3]D_{\text{m\'{a}x}} =[/tex3] infinito.

Resposta

---

Letra a: [tex3]V = \frac{K \cdot Q}{a}[/tex3]
Letra b: [tex3]v = \sqrt{\frac{-2KQq}{am}}[/tex3]
Letra c: [tex3]D_{\text{m\'{a}x}} = 2a\sqrt{3}[/tex3]

[LucasPinafi]

Solução problema 9

a) Devemos considerar apenas o campo elétrico gerado pelas partículas de carga positiva [tex3]Q[/tex3] (o potencial elétrico do ponto [tex3]P[/tex3] e [tex3]O[/tex3] muda com a presença de [tex3]q[/tex3], mas como ela não é fixa, essa alteração é desprezível).

[tex3]V_0=V_{0Q_1}+V_{0Q_2}=\frac{kQ}{a}+\frac{kQ}{a}=2\cdot\frac{kq}{a}[/tex3]
[tex3]V_p=V_{pQ_1}+V_{pQ_2}=2\cdot\frac{kQ}{2a}=\frac{kq}{a}[/tex3]

Logo:

[tex3]V=V_0-V_p=\frac{kq}{a}[/tex3]

b) O trabalho mínimo necessário para levar [tex3]q[/tex3] de [tex3]P[/tex3] até [tex3]O[/tex3] é:

[tex3]W=q(V_p-V_0)=-q(V_0-V_p)[/tex3] (i)

Pelo Teorema da Energia Cinética, temos:

[tex3]W=\Delta E_c[/tex3](ii)

Substituindo (ii) em (i):

[tex3]\Delta E_c=-q(V_0-V_p)\rightarrow \frac{mv_f^2}{2}-\frac{mv_0^2}{2}=-q(V_0-V_p)[/tex3]
[tex3]\frac{mv_f^2}{2}-0=-q(V_0-V_p)\rightarrow v_f=\sqrt{\frac{-2kQm}{ma}}[/tex3]

c) Da expressão [tex3]W=q(V_p-V_R)[/tex3] onde R é o ponto onde a velocidade da partícula de carga q é nula, vemos que [tex3]V_p=V_m[/tex3]. Assim, temos uma simetria. Logo o ponto R estará a mesma distância do ponto p até O, ou seja, a altura h do triângulo equilátero:
[tex3]D_{max}=2h=2\sqrt{4a^2-a^2}=2a\sqrt{3}[/tex3]

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Problema 10

(Unicamp-1996) Espectrômetros de massa são aparelhos utilizados para determinar a quantidade relativa de isótopos dos elementos químicos. As figura (a) mostra o esquema de uma desses espectrômetros. Inicialmente os íons são acelerados na região 1 pela tensão [tex3]V[/tex3]. Na região 2 existe um campo magnético [tex3]B[/tex3] constante que obriga os íons a seguintes uma trajetória circular. Se a órbita descrita pelo íon tiver raio [tex3]R[/tex3], eles atingem a fenda [tex3]F[/tex3] e são detectados.

Responda (a) e (b) literalmente e ao item (c) numericamente.

a) Qual a expressão da velocidade do íon ao entrar na região [tex3]2[/tex3], em função de sua massa, carga e da tensão [tex3]V[/tex3]?
b) Qual a expressão da massa do íon detectado em função de [tex3]V[/tex3], da carga [tex3]q[/tex3], do campo magnético [tex3]B[/tex3] e do raio [tex3]R[/tex3]?
c) Em um dado espectrômetro de massa, com [tex3]V=10'000\text{V}[/tex3] e [tex3]R=10\text{cm}[/tex3] uma amostra de um elemento com carga iônica [tex3]+e[/tex3] produziu o espectro da figura (b). Determine a massa correspondente a cada um dos picos em unidade de massa atômica ([tex3]u[/tex3]). Adote [tex3]e=1,6\cdot 10^{-19}[/tex3] C e [tex3]1u=1,6\cdot 10^{-27}\text{kg}[/tex3]

Resposta

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a) [tex3]\sqrt{\frac{2qv}{m}}[/tex3]
b) [tex3]\frac{qB^2R^2}{2V}[/tex3]
c) [tex3]1u[/tex3]; [tex3]2u[/tex3]

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