Ensino Médio ⇒ Probabilidade Tópico resolvido

[poti]

A probabilidade de um atirador acertar um alvo é 1/3 e a probabilidade de um atirador B acertar o mesmo alvo é 1/5. Se cada um atira uma vez, pergunta-se:

a) Qual é a probabilidade do alvo ser atingido?
b) Se o alvo foi atingido apenas uma vez, qual é a probabilidade de ter sido pelo atirador B?

Resposta

---

a) 7/15
b) 1/3

Não tive problemas com a letra a, mas não entendi a resposta da b.

[LucasPinafi]

a) Seja Ea "errar o alvo pelo atirador a", Aa "acertar o alvo pelo atirador a", Eb "errar o alvo por B" e Ab "acertar o alvo por b". Como cada um atira uma vez, temos as seguintes possibilidades:
(i)EaEb
(ii)EaAb
(iii)AaEb
(iv)AaAb
Como a probabilidade de A acertar o alvo é 1/3, então a probabilidade dele errar é 1-1/3=2/3 (eventos complementares) e a probabilidade de B errar é 1-1/5=4/5. Seja ainda P a probabilidade de cada um daqueles quatro eventos ocorrerem. Temos:
[tex3]P_i =\frac{2}{3}. \frac{4}{5}=\frac{8}{15}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P_i =\frac{2}{3}. \frac{4}{5}=\frac{8}{15}[/tex3]

[tex3]P_{ii}=\frac{2}{3}.\frac{1}{5}=\frac{2}{15}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P_{ii}=\frac{2}{3}.\frac{1}{5}=\frac{2}{15}[/tex3]

[tex3]P_{iii}=\frac{1}{3}. \frac{4}{5}=\frac{4}{15}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P_{iii}=\frac{1}{3}. \frac{4}{5}=\frac{4}{15}[/tex3]

[tex3]P_{iv}= \frac{1}{3}.\frac{1}{5}=\frac{1}{15}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P_{iv}= \frac{1}{3}.\frac{1}{5}=\frac{1}{15}[/tex3]

a) O avlo foi atingido nas situações (ii), (iii) e (iv). Então, a probabilidade do evento é:
[tex3]P=\frac{2+4+1}{15}=\frac{7}{15}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P=\frac{2+4+1}{15}=\frac{7}{15}[/tex3]

b) O alvo foi atingido uma vez pelo atirador b na situação (ii), cuja probabilidade de ocorrência é 2/15
é o que eu consegui chegar na b...

[poti]

Também cheguei em 2/15 :/

[LucasPinafi]

Da onde é esse exercício?

[caju]

Olá poti,

A resposta de vocês, 2/15, responde a uma outra pergunta, que seria: "Qual a probabilidade de apenas o atirador B acertar, com cada um atirando apenas uma vez". Mas, a pergunta real é "Qual a probabilidade de o atirador B acertar, dado que o alvo foi atingido apenas uma vez". São situações distintas.

O enunciado pede uma probabilidade condicional no item (b). Vamos definir os seguintes eventos:

A = Atirador B acertar o alvo
B = Alvo ser atingido apenas uma vez

Assim, matematica é pedido a probabilidade condicional

Código: Selecionar tudo

[tex3]P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}[/tex3]

.

A resposta de vocês já nos dá

Código: Selecionar tudo

[tex3]P(A\cap B)=\frac{2}{15}[/tex3]

, pois

Código: Selecionar tudo

[tex3]P(A\cap B)[/tex3]

é a probabilidade de ocorrer A e B simultaneamente.

Vamos completar os cálculos:

Código: Selecionar tudo

[tex3]P(B)=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{5}+\frac{1}{3}\cdot \frac{4}{5}=\frac{6}{15}[/tex3]

Agora sim:

Código: Selecionar tudo

[tex3]P(A|B)=\frac{\frac{2}{15}}{\frac{6}{15}}=\boxed{\boxed{\frac{1}{3}}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

[poti]

Muito elucidativa sua resposta, professor Caju