Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST) Conjuntos numéricos Tópico resolvido

[Iaiass]

Um número inteiro positivo n de 4 algarismos decimais satisfaz às seguintes condições:
I) A soma dos quadrados do 1º e 4º algarismos é 58.
II) A soma dos quadrados do 2º e 3º algarismos é 52.
III) Se deste número n subtrairmos o número 3816, obteremos um número formado pelos mesmos algarismos do número n, mas na ordem contrária. Qual é o número?


Eu não entendi muito bem o método de resolução do meu livro. Se alguém puder resolver de uma forma bem clara, eu agradeço imensamente!

[LucasPinafi]

Vamos considerar os números xyzw, xzyw, wyzx, wzyx onde x,y,z,w são números inteiros positivos. Pelas condições dadas:
(i) [tex3]x^2+w^2=58[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+w^2=58[/tex3]

Veja as opções que temos: x e w não podem ser maior que 7, pois a partir dai o quadrado do número já passa de 58. Podemos ter:
[tex3]x=3;w^2=7\rightarrow 9+49=58[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=3;w^2=7\rightarrow 9+49=58[/tex3]

ou
[tex3]x=7; w=3\rightarrow 9+49=58[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=7; w=3\rightarrow 9+49=58[/tex3]

(ii) [tex3]y^2+z^2=52[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y^2+z^2=52[/tex3]

Ainda não podemos ter números maiores que 7. Nesse caso, temos:
[tex3]y=4;z=6\rightarrow 4^2+6^2=52[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=4;z=6\rightarrow 4^2+6^2=52[/tex3]

ou
[tex3]y=6,z=4\rightarrow 6^2+4^2=52[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=6,z=4\rightarrow 6^2+4^2=52[/tex3]

Veja então que podemos ter os números:
3467, 3647, 7463, 7643.
Pela condição (iii), iremos determinar qual é o número em questão (veja que os dois primeiros números nem precisamos fazer pois se subtrairmos eles por 3816, iremos obter números negativos):
7643-3816=3827(não é o número que estamos procurando)
7463-3816=3647 que é o número anterior com os algarismos na ordem inversa.
Resposta: O número n vale 7463, pois satisfaz as três condições dadas.