Ensino Superior

Seja $f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\,\,\, f(x) = \frac{5x - 2}{x^2 + 1}$

Indique a alternativa falsa:

a) A $f(x)$ é contínua em todo o su domínio.
b) O gráfico da $f(x)$ apresenta dois pontos com tangentes horizontais.
c) O gráfico da $f(x)$ apresenta um ponto máximo e um ponto mínimo.
d) A $f(x)$ é derivável em todo o seu domínio.
e) Considere a função no intervalo $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ derivável em $(0,1)$ . Existe um ponto $C\in (0,1)$ tal que $-5c^2+4c+5=(c^2+1)^2$

a) Correta, pois toda função racional é contínua em seu domínio.
b) Correta. Para que a função f admitia tangente horizontal, devemos ter f'(x)=0
[tex3]f'(x)=0\rightarrow \frac{5(x^2+1)-2x(5x-2)}{(x^2+1)^2}=0[/tex3]
[tex3]-5x^2+4x+5=0[/tex3]
A equação acima admite duas raízes reais, pois [tex3]\Delta >0[/tex3] . Logo, há dois pontos do gráfico de f cuja tangentes sejam horizontais.
c) Correto. Seja [tex3]x_1<x_2[/tex3] as raízes de f'(x)=0. Como f'(x)>0 para [tex3]x_1<x<x_2[/tex3] e f'(x)<0 para [tex3]x<x_1[/tex3] e [tex3]x>x_2[/tex3] , então (pelo teste da primeira derivada) [tex3](x_1,f(x_1))[/tex3] é um ponto de mínimo e [tex3](x_2,f(x_2))[/tex3] é um ponto de máximo.
d) Correto, pois [tex3](x^2+1)\neq 0[/tex3] para todo x.
e) Falsa. Pelas condições dadas, existe c em (0,1) tal que a reta tangente no ponto (c,f(c)) é paralela à reta secante que passa por (1,f(1)) e (0,f(0)), ou seja:
[tex3]f(1)-f(0)=f'(c)(1-0)\rightarrow \frac{5-2}{1+1}-\frac{-2}{1}=\frac{-5c^2+4c+5}{(c^2+1)^2}[/tex3]
[tex3]\frac{7}{2}=\frac{-5c^2+4c+5}{(c^2+1)^2}\rightarrow 7(c^2+1)^2=2(-5c^2+4c+5)[/tex3]

Obrigado.
pode me ajudar nessa?

seja f : R→R definida por:
f(x)=[tex3]\begin{cases}
x + 1 se x < -1 \\
\frac{1}{x - 3} se x > -1
\end{cases}[/tex3]
Mostrar se a função é contínua em x= -1. Caso seja descontínua, mostrar o tipo de descontinuidade.

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