Ensino Fundamental ⇒ Transformações Lineares Tópico resolvido

[tiberiotavares]

1) Para cada transformação linear abaixo determine o núcleo e a imagem

a) T : [tex3]R^{2} \rightarrow[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R^{2} \rightarrow[/tex3]

[tex3]R^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R^{2}[/tex3]

,T (x,y) = (-x,-y)

[deOliveira]

[tex3]T:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R^2[/tex3]

[tex3]T(x,y)=(-x,-y)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T(x,y)=(-x,-y)[/tex3]

[tex3]NucT=\{(x,y)\in\mathbb R^2:T(x,y)=(0,0)\}\\(x,y)=(0,0)\\\implies\begin{cases}-x=0\\-y=0\end{cases}\\\implies(x,y)=(0,0)\\NucT=\{(0,0)\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]NucT=\{(x,y)\in\mathbb R^2:T(x,y)=(0,0)\}\\(x,y)=(0,0)\\\implies\begin{cases}-x=0\\-y=0\end{cases}\\\implies(x,y)=(0,0)\\NucT=\{(0,0)\}[/tex3]

[tex3]\implies\dim NucT=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\implies\dim NucT=0[/tex3]

Pelo Teorema do Núcleo e imagem temos que
[tex3]\dim\mathbb R^2=\dim NucT+\dim ImT\\\implies\dim ImT=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\dim\mathbb R^2=\dim NucT+\dim ImT\\\implies\dim ImT=2[/tex3]

[tex3]ImT\subset\mathbb R^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ImT\subset\mathbb R^2[/tex3]

e [tex3]\dim\mathbb R^2=\dim ImT[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\dim\mathbb R^2=\dim ImT[/tex3]

[tex3]\implies ImT=\mathbb R^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\implies ImT=\mathbb R^2[/tex3]

Espero ter ajudado .