Concursos Públicos ⇒ (UnB SEDUCAM) Equação e Inequação

[ALDRIN]

Julgue os itens seguintes, acerca de equações e inequações.

(1) Se [tex3]k[/tex3]

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[tex3]k[/tex3]

é um número real diferente de [tex3]2[/tex3]

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[tex3]2[/tex3]

, então a equação [tex3](k-2)x^2-3kx+1=0[/tex3]

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[tex3](k-2)x^2-3kx+1=0[/tex3]

sempre terá raízes reais distintas.
(2) O conjunto solução para a inequação [tex3]x^2+2x-3 > 0[/tex3]

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[tex3]x^2+2x-3 > 0[/tex3]

contém o intervalo [tex3]-3 \leq x \leq 3[/tex3]

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[tex3]-3 \leq x \leq 3[/tex3]

.

Resposta

---

C, E

[Cientista]

Olá Moderador Aldrin como está? Aqui tudo bem.
Então, no primeiro ítem é uma questão de pegarmos o valor e substituir, ou seja, se eu experimentar com

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[tex3]k=2[/tex3]

, e substituir, notaremos que ele terá uma Única Solução, respectivamente a

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[tex3]\frac{1}{6}[/tex3]

. Mas, se fores a substituir com outro valor em

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[tex3]K[/tex3]

, concluímos que as suas raízes sempre serão distitintas, seja com 0,1,3,-5 .. Concluindo então que a afirmação é Verdadeira(Certa)
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Para o segundo ítem, é uma questão de resolvermos essa Inequação e acharmos o conjunto-solução do mesmo.
Transformando numa Equação Equivalente, e determinando as suas raízes teremos,

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[tex3](x-1).(x+3)>0[/tex3]

e fazendo o jogo de Sinais com produtos, pintando a parte positiva, pois a Inequação pede valores positivos(acima do eixo x-Abcisessas) teremos como conjunto solução

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[tex3](x-1).(x+3)>0 \rightarrow x\in ]-\infty;-3[[/tex3]

ou

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[tex3]]1;+\infty[[/tex3]

respectivamente. Logo a afirmação é Falsa(Errada).
Espero ter Ajudado

[csmarcelo]

Cientista,

Mas como você concluiu que, para

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[tex3]k<>2[/tex3]

, as raízes sempre serão distintas?

[csmarcelo]

1)

Uma equação do segundo grau possui raízes reais e distintas quando

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[tex3]\Delta>0[/tex3]

.

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[tex3]\Delta_1=b^2-4ac=(-3k)^2-4(k-2)=9k^2-4k+8>0[/tex3]

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[tex3]\Delta_2=(-4)^2-4\cdot9\cdot8=-272\rightarrow9k^2-4k+8[/tex3]

sempre será maior do que zero, ou seja

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[tex3]\Delta_1[/tex3]

sempre será maior do que zero e, por conseguinte, a afirmação é verdadeira.