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Seja $\gamma$ a curva interseção do paraboloide $5z=x^{2}+y^{2}$ com o plano $z=2,6$ , orientada no sentido anti-horário. Qual o valor da integral de linha $\oint(x^{2}-y)dx+(x+yz)dy+x^{2}yzdz$ ?

Use no cálculo a aproximação $\pi \approx 3.14$

Mensagem não lidapor **Vinisth** » 12 Nov 2014, 12:26 · Mensagem não lida por **Vinisth** » 12 Nov 2014, 12:26

Olá ANNA2013MARY,

A interseção com $z=2,6$ será um círculo de $x^2+y^2= 13$ .Primeiro de tudo você deve parametrizar o circulo.
$x=\sqrt{13}\cos (t)\\ y=\sqrt{13}\sin (t)\\ z=z$
$\frac{\partial x }{\partial t}=-\sqrt{13}\sin (t)$
$\frac{\partial y }{\partial t}=\sqrt{13}\cos (t)$
$\frac{\partial z }{\partial t}=0$

Sua integral fica :
$\oint(x^{2}-y)dx+(x+yz)dy+x^{2}yzdz$
$\small \int_0^{2\pi}([\sqrt{13}\cos (t)]^{2}-\sqrt{13}\sin (t))[-\sqrt{13}\sin (t)]dt+(\sqrt{13}\cos (t)+0)\sqrt{13}\cos (t)dt+0dz$
$\int_0^{2\pi}(\sqrt{13}\sin^2t-\sqrt{13}\cos^2t \sin t+\sqrt{13}\cos^2 t)dt$
$\int_0^{2/pi} (\sqrt{13}-\sqrt{13}\cos^2t \sin t)dt$

Consegue agora ?
Abraço

PS : $\frac{d}{dx}cos^3 t=-\cos^2t \sin t$

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