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Mensagem não lidapor **jhor** » 19 Out 2014, 18:15 · Mensagem não lida por **jhor** » 19 Out 2014, 18:15

A equação da reta que passa pelo ponto (3, 4) e que é tangente à circunferência [tex3]x^{2} + y^{2}[/tex3] – 2x – 4y –3 = 0 é ax + by + c = 0. Podemos afirmar que |a + b + c| pode ser igual a:

A) 2
B) 4
C) 5
D) 7
E) 8

Muito obrigado.

Mensagem não lidapor **Cientista** » 19 Out 2014, 19:40 · Mensagem não lida por **Cientista** » 19 Out 2014, 19:40

Olá Jhor,
Parece que também está estudando Geometria Analítica, também estou nessa matéria. Mas Ok, vamos ao exercício.
Primeiramente repare que a equação da circunferência não está "bonita" pois sabemos que a sua expressão deve mostrar o centro e o raio, e com base na equação ela não mostra tais características, então usemos o Método de completamento de Quadrados que consiste em deixar a expressão de forma organizada e em função de uma equação Quadrática já factorizada em:
$E.G.C:(x-x_{c})^{2}-(y-y_{c})^{2}=r^{2}$ , sendo que $x$ [tex3]\wedge[/tex3] $y$ $\in$ $\mathbb{R}$ e $r>0$ , nota que a designação $E.G.C:$ Equação.Geral.Circunferência. Teremos pelo Método de completamento de Quadrados:
$x^{2}-2x+y^{2}-4y=3$ ( Arrumando a equação com base na igualidade de incógnitas)
$x^{2}-2x+1+y^{2}-4y+4=3+1+4$
$x^{2}-2x+1+y^{2}-4y+4=8$
$(x-1)^{2}+(x-2)^{2}=8$ . Logo, tirámos que: $x_{c}=1;y_{c}=2;r^{2}=8\rightarrow r=\sqrt{8}\rightarrow 2.\sqrt{2}$ respectivamente.
Agora, sabemos que os nossos dados são:
$\begin{cases} P(3,4) \\ C(1,2) \end{cases}$ . Logo vamos descobrir o coeficiente angular da reta que passa pelo ponto $P$ e pelo Centro $C$ . Indo para a fórmula temos que:
$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\rightarrow \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\rightarrow \frac{2-4}{1-3}\rightarrow \boxed{m=1}$ . Então, outro aspecto a reparar no enunciado é que, ele diz que é tangente a circunferência, em outras palavras isso quer dizer que, A recta Tangente à Circunferência é perpendicular á recta que passa pelo ponto [tex2]P(3,4)[/tex2] e pelo Centro [tex2]C(1,2)[/tex2]..
Logo pela usemos a condição de perpendicularidade, que afirma que: O produto entre os coeficientes angulares de duas recta, [tex2]r[/tex2] e [tex2]s[/tex2] assim sejam, resulta em -1, ou seja, [tex2]m_{r}.m_{s}=-1[/tex2].. Logo teremos:
$m_{1}.m_{2}=-1$ $\rightarrow m_2=-\frac{1}{m_1}\rightarrow \boxed{m_2=-1}$ . Logo calculemos agora a equação da recta de modo que possámos extrair os valores de $a,b$ , e $c$ a partir da equação já determinada por nós. Assim teremos:
Equação da recta: $y=m.(x-x_{o})+y_{o}$ . Substituindo os pontos em $P$ na expressão temos que:
$y=-1.(x-3)+4$ desenvolvendo caíremos em: $-x-y+7=0$ ( $E.G.R$ -Equação Geral da Recta do tipo AB+BY+C=0) e tirámos que $a=-1;b=-1;c=7$ . Logo como o enunciado pede o valor do seu somatório, que podemos denominar por $S$ , temos que $S=|a+b+c|\rightarrow |-1-1+7\rightarrow \boxed{S=5}$ respectivamente.
Espero ter ajudado.

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