Olimpíadas ⇒ (IMO - 1997) Séries Tópico resolvido
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Ittalo25
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Out 2014
15
16:26
(IMO - 1997) Séries
Seja [tex3]a_1\geq ...\geq a_n\geq a_{n+1}=0[/tex3]
uma sequência de números reais. Prove isto:
 \leq \sum_{k=1}^n\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_k+1})) "\sqrt{\sum_{k=1}^n\,\lef}(a_k) \leq \sum_{k=1}^n\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_k+1}))")
Editado pela última vez por Ittalo25 em 15 Out 2014, 16:26, em um total de 2 vezes.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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jedi
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Out 2014
17
21:47
Re: (IMO - 1997) Séries
partindo da seguinte condição, ao elevar ao quadrado a expressão e colocando o ultimo termo para fora do somatorio
)\right)^2=\left(\sum_{k=1}^{n-1}\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}})+\sqrt{n}.\sqrt{a_n}\right)^2 "\left( \sum_{k=1}^n\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}))\right)^2=\left(\sum_{k=1}^{n-1}\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}})+\sqrt{n}.\sqrt{a_n}\right)^2")
)\right)^2+2.\sqrt{n}.a_{n}\left( \sum_{k=1}^{n-1}\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}))\right)+(\sqrt{n}.\sqrt{a_{n}})^2 "\left( \sum_{k=1}^{n-1}\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}))\right)^2+2.\sqrt{n}.a_{n}\left( \sum_{k=1}^{n-1}\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}))\right)+(\sqrt{n}.\sqrt{a_{n}})^2")
com isso nós temos que
)\right)^2\geq\left( \sum_{k=1}^{n-1}\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}))\right)^2+(\sqrt{n}.\sqrt{a_{n}})^2 "\left( \sum_{k=1}^n\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}))\right)^2\geq\left( \sum_{k=1}^{n-1}\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}))\right)^2+(\sqrt{n}.\sqrt{a_{n}})^2")
)\right)^2\geq\left( \sum_{k=1}^{n-1}\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}))\right)^2+n.a_{n} "\left( \sum_{k=1}^n\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}))\right)^2\geq\left( \sum_{k=1}^{n-1}\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}))\right)^2+n.a_{n}")
como n é sempre maior igual a 1
)\right)^2\geq\left( \sum_{k=1}^{n-1}\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}))\right)^2+a_{n} "\left( \sum_{k=1}^n\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}))\right)^2\geq\left( \sum_{k=1}^{n-1}\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}))\right)^2+a_{n}")
agora se fizermos o mesmo processo com o somatório ao quadrado do outro lado da desigualdade tirando o termo
do somatório chegaremos em
)\right)^2\geq\left( \sum_{k=1}^{n-2}\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}))\right)^2+a_{n-1}+a_{n} "\left( \sum_{k=1}^n\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}))\right)^2\geq\left( \sum_{k=1}^{n-2}\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}))\right)^2+a_{n-1}+a_{n}")
e repetindo sucessivamente chegaremos em
)\right)^2\geq a_1+a_2+a_3+\dots+a_{n-3}+a_{n-1}+a_{n} "\left( \sum_{k=1}^n\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}))\right)^2\geq a_1+a_2+a_3+\dots+a_{n-3}+a_{n-1}+a_{n}")
)\right)^2\geq \sum_{k=1}^{n}a_k "\left( \sum_{k=1}^n\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}))\right)^2\geq \sum_{k=1}^{n}a_k")
portanto
)\geq \sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_k} "\sum_{k=1}^n\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}))\geq \sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_k}")
com isso nós temos que
como n é sempre maior igual a 1
agora se fizermos o mesmo processo com o somatório ao quadrado do outro lado da desigualdade tirando o termo
e repetindo sucessivamente chegaremos em
portanto
Editado pela última vez por jedi em 17 Out 2014, 21:47, em um total de 1 vez.
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