Ensino Médio

Mensagem não lidapor **laisarl** » 09 Out 2014, 09:30 · Mensagem não lida por **laisarl** » 09 Out 2014, 09:30

A obra de arte de um artista é feita da seguinte forma: a partir de um quadrado de área 1m², traça-se um novo quadrado, ligando os pontos médios do lado do primeiro, depois disso, traça-se um terceiro quadrado, a partir dos pontos médios do segundo. Repetindo-se esse processo infinitamente, obtém-se um resultado parecido com a figura.
Considerando o processo infinito, a área marcada em cinza é, em metros quadrados,

Gabarito 1/3

Vamos incialmente calcular a área de cada triângulo cinza do quadrado maior (lado 1 m).
Esses triângulos são retângulos de lado $\frac{1}{2} \ m$ .

A área $(A_1)$ será:
$A_1=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{8}$
Como há 4 desses triãngulos a área cinza total $A_{1T}$ no quadraddo mairo será:
$A_{1T}=4 \cdot A_1=4 \cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{2} \ m^2$

O lado do primeiro quadrado branco interno $(\ell_1)$ é a hipotenusa dos triãngulos cinza do quadrado maior:
$\ell_1^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}$
$\ell_1=\frac{\sqrt2}{2}\ m$

Cada triângulo branco tem lado $(\ell_2)$ metade de $\ell_1$ :

$\ell_2=\frac{\ell_1}{2}=\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{2}=\frac{\sqrt2}{4}\ m$

A hipotenusa de cada um desses triângulos brancos é o lado do segundo quadrado cinza $(\ell_3)$ :
$\ell_3^2=\left(\frac{\sqrt2}{4}\right)^2+\left(\frac{\sqrt2}{4}\right)^2=\frac{1}{4}$
$\ell_3=\frac{1}{2} \ m$

O lado dos segundos quadrados cinza $(\ell_4)$ é $\ell_ 4=\frac{\ell_3}{2}=\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}\ m$ .

A área $A_2$ de cada um dos segundos quadrados cinza será:
$A_2=\frac{\frac{1}{4}\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{32}$

A área total $A_{2T}$ da segunda área cinza será:
$A_{2T}=4 \cdot \frac{1}{32}=\frac{1}{8} \ m^2$

A razão $q$ entre $\frac{A_{2T}}{A_{1T}}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}$

Como a soma das áreas cinza é a soma de uma PG infinita:
$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}$ .

Esse não foi o resultado de seu gabarito, apesar de não ter encontrado o meu erro, creio que possa ter dado uma direção em como resolver o exercício.

Espero ter ajudado!

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