Ensino Médio

Mensagem não lidapor **EvelynP** » 18 Set 2014, 17:38 · Mensagem não lida por **EvelynP** » 18 Set 2014, 17:38

Qual é o menor número positivo que possui 9 divisores ?
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A resposta é 36.Como chegar a esse resultado?

Mensagem não lidapor **PedroCunha** » 18 Set 2014, 21:38 · Mensagem não lida por **PedroCunha** » 18 Set 2014, 21:38

Olá, EvelynP.

Existe um teorema na combinatória que fala que o número de divisores inteiros e positivos de um número qualquer na sua forma fatorada (decomposto em fatores primos) $2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d \dots$ é dado por $(a+1) \cdot (b+1) \cdot (c+1) \cdot (d+1) \dots$ .

Como queremos o menor número que possua 9 divisores, ele deve ser da forma $2^a \cdot 3^b$ , pois o menor número da forma $x^k$ com 9 divisores é $2^8$ . Sendo assim, do Teorema apresentado, devemos ter:

$(a+1) \cdot (b+1) = 9$

Cuja solução nos naturais para $a \neq 0, b \neq 0$ é $a = b = 2$ , que nos dá como número procurado $2^2 \cdot 3^2 = 36$ .

Att.,
Pedro

Mensagem não lidapor **EvelynP** » 19 Set 2014, 14:13 · Mensagem não lida por **EvelynP** » 19 Set 2014, 14:13

Muito obrigada Pedro!

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