Ensino Médio

TarekVilela

Quantas soluções inteiras e não negativas tem a equação: a + b + c + d + e = 20, se cada uma delas deve ser maior ou igual a 3?

Bom, se não houvesse restrição, seria [tex3]P_{24}^{4, 20}[/tex3]

Mas como ela da uma restrição, alguém sabe como resolver?

A resposta é: 126

defina
$A = a - 3$
$B = b - 3$
$C = c - 3$
$D = d - 3$
$E = e - 3$

oras como $a\geq 3\rightarrow A\geq 0$ repare que $a = 3 + A$
substituindo na equação original:

$3 + A + 3 + B + 3 + C + 3 + D + 3 + E = 20$
$15 + A + B + C + D + E = 20$
$A + B + C + D + E = 5$

repare que caimos no problema que você sabe resolver, pois a única condição ai é que as incógnitas sejam maiores ou iguais a zero. Nesse caso a resposta é:

$P_9^{4,5} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2}=9\cdot7\cdot2=63\cdot2=126$

TarekVilela

sousóeu escreveu:defina
$A = a - 3$
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[tex3]A = a - 3[/tex3]

$B = b - 3$
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[tex3]B = b - 3[/tex3]

$C = c - 3$
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[tex3]C = c - 3[/tex3]

$D = d - 3$
Código: Selecionar tudo
[tex3]D = d - 3[/tex3]

$E = e - 3$
Código: Selecionar tudo
[tex3]E = e - 3[/tex3]

oras como $a\geq 3\rightarrow A\geq 0$
Código: Selecionar tudo
[tex3]a\geq 3\rightarrow A\geq 0[/tex3]
repare que $a = 3 + A$
Código: Selecionar tudo
[tex3]a = 3 + A[/tex3]

substituindo na equação original:

$3 + A + 3 + B + 3 + C + 3 + D + 3 + E = 20$
Código: Selecionar tudo
[tex3]3 + A + 3 + B + 3 + C + 3 + D + 3 + E = 20[/tex3]

$15 + A + B + C + D + E = 20$
Código: Selecionar tudo
[tex3]15 + A + B + C + D + E = 20[/tex3]

$A + B + C + D + E = 5$
Código: Selecionar tudo
[tex3]A + B + C + D + E = 5[/tex3]

repare que caimos no problema que você sabe resolver, pois a única condição ai é que as incógnitas sejam maiores ou iguais a zero. Nesse caso a resposta é:

$P_9^{4,5} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2}=9\cdot7\cdot2=63\cdot2=126$
Código: Selecionar tudo
[tex3]P_9^{4,5} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2}=9\cdot7\cdot2=63\cdot2=126[/tex3]

Muito obrigado! Essa solução abre caminhos para outros problemas!

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