Ensino Fundamental

zebacatela

Se [tex3]x^{2} + \frac{1}{x^{2}}[/tex3] = A e x - [tex3]\frac{1}{x}[/tex3] = B, A e B positivos, calcule o valor mínimo de [tex3]\frac{A}{B}[/tex3] .

Gabarito; 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Olá, zebacatela.

A condição de existência é $B \neq 0 \iff x \neq 0, x \neq \pm 1$ .

Seja $B = x - \frac{1}{x} = k, k > 0$ . Note que:

$\left( x - \frac{1}{x} \right)^2 = k^2 \therefore x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = k^2 \therefore x^2 + \frac{1}{x^2} = k^2+2 \Leftrightarrow A = k^2 + 2$

Com isso em mente:

$\frac{A}{B} = \frac{k^2+2}{k}$

O valor mínimo dessa razão ocorre, teoricamente, quando o numerador é mínimo. Vejamos quando isso ocorre:

$f(k) = k^2 + 2 \Leftrightarrow x_v = \frac{0}{2} = 0 \Leftrightarrow f_{\text{m\'{i}n}} = f(0) = 2$

Não serve, pois $k \neq 0$ . Nesse caso, o caminho para achar o mínimo da função é aplicar a derivada da função. Temos:

$f(k) = \frac{k^2+2}{k} \Leftrightarrow f'(k) = \frac{2k \cdot k - (k^2+2) \cdot 1}{k^2} \therefore f'(k) = \frac{k^2 - 2}{k^2}$

O valor mínimo ocorre quando $k$ é tal que $f'(k) = 0$ . Assim:

$f'(k) = 0 \Leftrightarrow k = \pm \sqrt{2}$

Como $k > 0$ , ficamos com $k = \sqrt 2$ . Assim, o valor mínimo da função é:

$\frac{\sqrt{2}^2 + 2}{\sqrt2} = \frac{4}{\sqrt2} = 2\sqrt2$

Outra maneira, que não envolve conceitos do Ensino Superior é sabendo que o domínio da função inversa é igual a imagem da função original. Encontremos então a inversa:

$y = \frac{k^2+2}{k} \therefore ky = k^2 + 2 \therefore k^2 - ky + 2 = 0$

Como estamos tratando de números reais, o discriminante deve ser maior ou igual a zero:

$(-y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 \geq 0 \therefore y^2 \geq 8 \Leftrightarrow y \leq -2\sqrt2 \text{ ou } y \geq 2\sqrt2$

Como $k > 0$ , o seu valor mínimo é $k = 2\sqrt2$ .

Questão bem legal.

Att.,
Pedro

Outra Resolução:
x-[tex3]\frac{1}{x}[/tex3] =B [tex3]\rightarrow x^{2}[/tex3] -2+[tex3](\frac{1}{x})^{2} = B^{2}[/tex3]
Então:
A-[tex3]B^{2}[/tex3] =2 [tex3]\rightarrow[/tex3] A=[tex3]B^{2}[/tex3] +2
Substituindo na expressão!
[tex3]\frac{A}{B} = \frac{B^{2}+2}{B}[/tex3] =B+[tex3]\frac{2}{B}[/tex3]
Usando:M.A [tex3]\geq[/tex3] M.G,Vem:

[tex3]\frac{B+\frac{2}{B}}{2} \geq \sqrt{B.\frac{2}{B}} \rightarrow[/tex3] B+[tex3]\frac{2}{B} \geq[/tex3] 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Portanto,ovalor mínimo de [tex3]\frac{A}{B}[/tex3] é 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

zebacatela

Ok! PedroCunha, essa questão consegui de uma aula no rádio de um colégio aqui do Ceará, nas pressas a resposta veio assim. Caso haja erro por favor corrija.

[tex3]\frac{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}} = \frac{(x - \frac{1}{x})^{2} +2} {x - \frac{1}{x}}[/tex3] . Observe que o numerador com o (+ 2) continua sendo A e o denominador sendo B. Como x - [tex3]\frac{1}{x}[/tex3] é igual a B, temos: [tex3]\frac{B^{2} + 2}{B}[/tex3] ou B +[tex3]\frac{2}{B}[/tex3] veja que isso é [tex3]\frac{A}{B}[/tex3] .
Como queremos o valor mínimo temos que [tex3]MA\geq MG[/tex3] ou seja;
[tex3]\frac{B +\frac{2}{B}}{2}\geq \sqrt{B *\frac{2}{B}}[/tex3] e portanto B + [tex3]\frac{2}{B}\geq 2\sqrt{2}[/tex3] .

Espero ter ajudado!!

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