IME / ITA ⇒ (IME 1975) Números Complexos Tópico resolvido

[MJ14]

As partes real e imaginária de um ponto [tex3]z = x+yi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z = x+yi[/tex3]

do plano complexo são representadas, respectivamente, por: [tex3]x = Re(z)[/tex3]

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[tex3]x = Re(z)[/tex3]

e [tex3]y = Im(z)[/tex3]

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[tex3]y = Im(z)[/tex3]

. Dados dois pontos do plano complexo, [tex3]z_{1} = 2 + 3i[/tex3]

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[tex3]z_{1} = 2 + 3i[/tex3]

e [tex3]z_{2} = 4 + 5i[/tex3]

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[tex3]z_{2} = 4 + 5i[/tex3]

, determine e esboce o lugar geométrico dos pontos do plano complexo que satisfazem a relação:

[tex3]Re\left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=0[/tex3]

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[tex3]Re\left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=0[/tex3]

, com [tex3]z \neq z_{2}.[/tex3]

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[tex3]z \neq z_{2}.[/tex3]

Resposta

---

[tex3](x-3)^2 + (y-4)^2 = 0[/tex3]

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[tex3](x-3)^2 + (y-4)^2 = 0[/tex3]

, exceto o ponto [tex3](4,5)[/tex3]

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[tex3](4,5)[/tex3]

[PedroCunha]

Olá, Mariana.

[tex3]\circ z - z_1 = (x-2) + i \cdot (y-3) \\
\circ z - z_2 = (x-4) + i \cdot (y-5) \\
\\\\

\frac{z-z_1}{z-z_2} = \frac{(x-2) + i \cdot ( y-3)}{(x-4) + i \cdot (y-5)} = \frac{[ (x-2) + i \cdot (y-3)] \cdot [(x-4) - i \cdot (y-5)]}{(x-4)^2 - i^2 \cdot (y-5)^2} \therefore \\\\ \frac{ (x-2) \cdot (x-4) - i \cdot (x-2) \cdot (y-5) + i \cdot (y-3) \cdot (x-4) - i^2 \cdot (y-3) \cdot (y-5)}{(x-4)^2 + (y-5)^2}[/tex3]

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[tex3]\circ z - z_1 = (x-2) + i \cdot (y-3) \\
\circ z - z_2 = (x-4) + i \cdot (y-5) \\
\\\\

\frac{z-z_1}{z-z_2} = \frac{(x-2) + i \cdot ( y-3)}{(x-4) + i \cdot (y-5)} = \frac{[ (x-2) + i \cdot (y-3)] \cdot [(x-4) - i \cdot (y-5)]}{(x-4)^2 - i^2 \cdot (y-5)^2} \therefore \\\\ \frac{ (x-2) \cdot (x-4) - i \cdot (x-2) \cdot (y-5) + i \cdot (y-3) \cdot (x-4) - i^2 \cdot (y-3) \cdot (y-5)}{(x-4)^2 + (y-5)^2}[/tex3]

Parte real igual a zero:

[tex3](x-2) \cdot (x-4) + (y-3) \cdot (y-5) = 0 \therefore x^2 - 6x + 8 + y^2 -8y + 15 = 0[/tex3]

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[tex3](x-2) \cdot (x-4) + (y-3) \cdot (y-5) = 0 \therefore x^2 - 6x + 8 + y^2 -8y + 15 = 0[/tex3]

Circunferência de centro em [tex3]C \left( \frac{-6}{-2} ; \frac{-8}{-2} \right) \therefore C \left( 3;4 \right)[/tex3]

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[tex3]C \left( \frac{-6}{-2} ; \frac{-8}{-2} \right) \therefore C \left( 3;4 \right)[/tex3]

e raio:

[tex3]R = \sqrt{3^2 + 4^2 - (8+15)} \therefore R = \sqrt 2[/tex3]

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[tex3]R = \sqrt{3^2 + 4^2 - (8+15)} \therefore R = \sqrt 2[/tex3]

.

Colocando no plano cartesiano: *Equação reduzida da circunferência: [tex3](x-3)^2 + (y-4)^2 = 2[/tex3]

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[tex3](x-3)^2 + (y-4)^2 = 2[/tex3]

Exceto o ponto (4,5), pois [tex3]z \neq z_2[/tex3]

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[tex3]z \neq z_2[/tex3]

.

tutorb.png (3.41 KiB) Exibido 3562 vezes

Gabarito errado, Mariana. Não existe circunferência de raio nulo.

Abraços,
Pedro

[MJ14]

Olá Pedro,

Peço desculpas pelo gabarito errado, era o gabarito que estava na apostila e vez ou outra erram a digitação.

Não entendi uma coisa no gráfico. O diâmetro da circunferência no eixo y é de 3 até 5 e no eixo x de 2 à 4?

Obrigada pela resolução.

Abraços,
Mariana

[PedroCunha]

Sem problemas, .

Não. Lembre-se que o diâmetro vale [tex3]2\sqrt2[/tex3]

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[tex3]2\sqrt2[/tex3]

e não [tex3]2[/tex3]

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[tex3]2[/tex3]

.

Veja essa outra imagem; ela é bem mais detalhada.

mariana tutor.png (6.14 KiB) Exibido 3553 vezes

Se ainda restar alguma dúvida, me avise.

Abraços,
Pedro

[MJ14]

Agora entendi. O primeiro gráfico não estava muito detalhado, acabei me enrolando.

Obrigada pela ajuda.

Beijos,
Mariana

[Emmanuelmel]

Por que você ignorou os quadrados no denominador ?

[Berredo]

Por que você ignorou os quadrados no denominador ?

porque se trata de uma equação a igual zero. portanto, esse denominador multiplicará por zero. resultando somente no numerador.