IME / ITA ⇒ (CPACN - 1983) Geometria Plana

[bravoalpha]

De um pedaço quadrado de metal corta-se uma peça circular de diâmetro máximo e desta peça circular corta-se outro quadrado de lado máximo. A quantidade de material desperdiçada é :

(A) 1/4 da área do quadrado primitivo
(B) 1/2 da área do círculo
(C) 1/3 da área do quadrado primitivo
(D) 1/4 da área do círculo
(E) 1/2 da área do quadrado primitivo

[csmarcelo]

área do quadrado primitivo de lado

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[tex3]l[/tex3]

:

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[tex3]l^2[/tex3]

O diâmetro da circunferência inscrita corresponde ao lado do quadrado circunscrito. Logo,

área da circunferência inscrita:

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[tex3]\pi\left(\frac{l}{2}\right)^2=\frac{\pi l^2}{4}[/tex3]

área perdida:

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[tex3]l^2-\frac{\pi l^2}{4}=\frac{l^2(4-\pi)}{4}[/tex3]

O diâmetro da circunferência circunscrita equivale à diagonal do quadrado inscrito. Logo,

área do quadrado inscrito

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[tex3]\left(\frac{l}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{l^2}{2}[/tex3]

área perdida:

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[tex3]\frac{\pi l^2}{4}-\frac{l^2}{2}=\frac{l^2(\pi-2)}{4}[/tex3]

área total perdida:

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[tex3]\frac{l^2(4-\pi)}{4}+\frac{l^2(\pi-2)}{4}=\frac{l^2}{2}[/tex3]

Resposta: E