IME / ITA

bravoalpha · Mensagem não lida por **bravoalpha** » 18 Ago 2014, 07:19

Um triângulo de 30 cm de altura é dividido por duas paralelas perpendiculares a essa altura, em altura em três partes equivalentes. O maior dos segmentos em que ficou dividida essa altura por essas paralelas é :

(A) 5 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
(B) 6 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
(C) 10 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
(D) 15 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
(E) 20 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 18 Ago 2014, 15:22 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 18 Ago 2014, 15:22

: Untitled.png (5.25 KiB) Exibido 449 vezes

Todos os três triângulos da imagem são semelhantes. Portanto, seus lados correspondentes são proporcionais.

Se as três partes são equivalentes, então,

$A_{\Delta ABC}=A_{\square BCED}=A_{\square DEGF}$

Logo,

$A_{\Delta AFG}=3\cdot A_{\Delta ABC}$

A fórmula da área de um triângulo é:

$\frac{bh}{2}$ , onde $b$ é a sua base e $h$ é a altura correspondente.

Dada a base $b$ e altura $h$ de um triângulo $ABC$ e a base $b'$ e altura $h'$ de um triângulo $DEF$ , tais que:

1) $b'=b\cdot k$
2) $h'=h\cdot k$
3) $\frac{b'h'}{2}=m\cdot\frac{bh}{2}$ , então,

$\frac{(b\cdot k)(h\cdot k)}{2}=m\cdot\frac{bh}{2}$
$\frac{k^2bh}{2}=m\cdot\frac{bh}{2}$
$k^2=m$
$k=\sqrt{m}$

Colocando em palavras, se dois triângulos são semelhantes (razão $k$ ) e a área de um equivale a $m$ vezes a área do outro, então os lados do primeiro medirão $\sqrt{m}$ vezes os lados correspondentes do segundo.

Como $A_{\Delta AFG}=3\cdot A_{\Delta ABC}\ (m=3)$ , temos que $AF=\sqrt{3}AB\ (k=\sqrt{3})$ .

Assim,

$\sqrt{3}AB=30\rightarrow AB=10\sqrt{3}$

IME / ITA ⇒ (CPACN - 1983) Geometria Plana

(CPACN - 1983) Geometria Plana

Re: (CPACN - 1983) Geometria Plana

IME / ITA ⇒ (CPACN - 1983) Geometria Plana

(CPACN - 1983) Geometria Plana

Re: (CPACN - 1983) Geometria Plana

Entrar | Registrar