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bravoalpha · Mensagem não lida por **bravoalpha** » 18 Ago 2014, 07:05

O total de diagonais de dois polígonos regulares é 41. Um desses polígonos tem dois lados a mais que o outro. O ângulo interno do polígono que tem o ângulo central menor, mede:

(A) 120
(B) 135
(C) 140
(D) 144
(E) 150

O número de diagonais $d$ de um plígono de $n$ lados é dado por:

$d=\frac{n \cdot (n-3)}{2}$

Temos que:

$d_1+d_2=41$ e que $n_1=n_2+2$
$\frac{n_1 \cdot (n_1-3)}{2}+\frac{n_2 \cdot (n_2-3)}{2}=41$
$\frac{(n_2+2) \cdot (n_2+2-3)}{2}+\frac{n_2 \cdot (n_2-3)}{2}=41$
$\frac{(n_2+2) \cdot (n_2-1)}{2}+\frac{n_2 \cdot (n_2-3)}{2}=41$
$n_2^2-n_2+2n_2-2+n_2^2-3n_2=82$
$2n_2^2-2n_2-84=0$
$n_2^2-n^2-42=0$

Resolvendo e equação de 2º grau, obtemos

$n_2=7$ ou n_2=-6 (que não vale)

Portanto o polígono $n_2$ tem 7 lados e é um heptágono e o polígono $n_1$ tem 9 lados e é um eneágono.

O eneágono tem o menor ângulo central: $\frac{360^o}{9}=40^0$ e a soma de seus ãngulos internos é dada por:

$S_9=(n-2) \cdot 180=$ :
$S_9=(9-2) \cdot 180=1260^0$

Portanto, cada ângulo intreno mede:

$\frac{1260}{9}=140^0$

Espero ter ajudado!

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