Física I ⇒ Movimento Circular Uniforme

[MariaT]

(UFG-GO) Sabe-se que a razão entre o período da Terra (Tt) e o do Mércurio(Tm), em torno do Sol, é da ordem de 4.
Considere que os planetas Terra e Mercúrio estão em órbitas circulares em torno do Sol, em um mesmo plano e que se movimentam no mesmo sentido. Nessas condições:
a) Qual é, em meses, o tempo minimo entre dois alinhamentos consecutivos desses planetas com o Sol?
b) Qual é, em graus, o angulo que a Terra terá percorrido nesse intervalo de tempo?

[aleixoreis]

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MariaT:
Supondo que os 2 planetas estejam alinhados ao se iniciar a contagem do tempo.
Mercúrio quando se alinha novamente com a Terra terá percorrido um espaço angular

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[tex3]\varphi_M=2\pi.rad-x.rad[/tex3]

e a Terra um espaço angular

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[tex3]\varphi_T=x.rad[/tex3]

A diferença entre os espaços angulares:

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[tex3]\varphi_M-\varphi_T=(2\pi.rad+x.rad)-x.rad=2\pi.rad[/tex3]

...I
Temos:

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[tex3]\varphi=\omega.t[/tex3]

e

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[tex3]\omega=\frac{2\pi}{T}[/tex3]

, então:

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[tex3]\varphi=\frac{2\pi\times t}{T}[/tex3]

Substituindo em I:

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[tex3][/tex3]

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[tex3]\frac{2\pi.t}{T_M}-\frac{2\pi.t}{T_T}=2\pi[/tex3]

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[tex3]2\pi.t(\frac{2\pi.t}{T_M}-\frac{2\pi.t}{T_T})=2\pi[/tex3]

...II
Sendo

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[tex3]T_M=\frac{T_T}{4}[/tex3]

e substituindo e simplificando em II:

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[tex3]t\times (\frac{4}{T_T}-\frac{1}{T_T})=1\rightarrow t=\frac{T_T}{3}\rightarrow t=\frac{12meses}{3}=4meses[/tex3]

Ângulo em graus percorrido pela Terra em 4 meses:

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[tex3]\frac{2\pi}{x}=\frac{12meses}{4meses}\rightarrow x=\frac{2\pi}{3}=\frac{2\times 180^{\circ}}{3}=120^{\circ}[/tex3]

Penso que é isso.
[ ]'s.

[gdarze]

A resposta acima está parcialmente correta. Na verdade o próximo alinhamento ocorre quando os planetas estão em lados opostos, a 180º. Como a velocidade angular de mercúrio é 4 vezes a da Terra, qualquer angulo [tex3]\theta [/tex3]

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[tex3]\theta [/tex3]

que a Terra de desloque, Mercúrio terá se deslocado 4 [tex3]\theta [/tex3]

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[tex3]\theta [/tex3]

. Se os dois saem alinhados em 0º, sabemos que vão se alinhar novamente em 4 [tex3]\theta - \theta [/tex3]

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[tex3]\theta - \theta [/tex3]

= 180º. O ângulo que a Terra andou então ([tex3]\theta [/tex3]

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[tex3]\theta [/tex3]

) é igual a 60º. A Terra demora 12 meses para se deslocar 360º. Então para andar 60º demorará 2 meses.