Olimpíadas

RafaeldeLima

Seja $f: \mathbb R \to \mathbb R$ uma função que satisfaz

$f(x+y) \leq \ yf(x) + f(f(x))$

para todos os reais $\ x \ \ e \ \ y$ . Prove que $f(x) = 0$ para todos os $x \leq \ 0$

Mensagem não lidapor **Vinisth** » 19 Dez 2014, 11:08 · Mensagem não lida por **Vinisth** » 19 Dez 2014, 11:08

Olá RafaeldeLima,

Escrevendo $y=t-x$ :

$f(x+y) \leq \ yf(x) + f(f(x))$
$f(t) \leq \ (t-x)f(x) + f(f(x)) \ \ \ (I)$

Seja $a\ , b \in R$ , considere $(x,t) = (b,f(a))$ e $(x,t) = (a,f(b))$ , então :
$\left\{\begin{matrix} f(f(a) \leq f(a)f(b)-af(a)+f(f(b)) \\ f(f(b) \leq f(a)f(b)-bf(b)+f(f(a)) \end{matrix}\right.$
Somando :
$2f(a)f(b) \geq af(a)+bf(b)$

Faça $b=2f(a) \implies 2f(a)f(b) \geq af(a)+f(a)f(b) \implies af(a) \leq 0$
É fácil notar que se a é negativo, f(a) é maior ou igual a zero.
Em (I), suponha que f(x)>0, para um valor real de x. Então $f(t) \leq 0$ e $f(x) \leq 0, \forall x \in R$ , que contradiz a afirmação acima, para o valor de a.

Logo, $f(x)=0$ para todo $x \leq 0$ .

Abraço !

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