Física III ⇒ Circuitos

[cavalcanti]

Na figura abaixo R1 = 2,00Ω, R2=5,00Ω e a fonte é ideal. Qual é o valor de R3 que maximiza a potência dissipada na resistência 3

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[aleixoreis]

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cavalcanti:
Eu já tinha postado esta questão (Fundamentos da Física- Halliday). A minha dúvida é na parte final e em Matemática. Na Física acho que o meu raciocínio está certo.
Em um resistor:

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[tex3]P=VI\rightarrow I=\frac{P}{V}[/tex3]

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[tex3]P=RI^2\rightarrow P=R\frac{P^2}{V^2}\rightarrow P=\frac{V^2}{R}[/tex3]

...I
Associação de

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[tex3]R_3[/tex3]

em paralelo com resistor de

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[tex3]5ohms[/tex3]

:

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[tex3]R_t=\frac{5R_3}{R_3+5}[/tex3]

...II
Corrente que passa pelo resistor de

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[tex3]2ohms[/tex3]

:

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[tex3]I=\frac{E}{2+R_t}[/tex3]

Ddp na associação

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[tex3]R_t[/tex3]

:

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[tex3]V_1=\frac{R_t.E}{2+R_t}[/tex3]

...III
Potência dissipada por

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[tex3]R_3[/tex3]

:

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[tex3]P=\frac{V_1^2}{R_3}[/tex3]

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[tex3]P=\frac{1}{R_3}.(\frac{R_t.E}{2+R_t})^2=\frac{1}{R_3}.(\frac{\frac{R_t.E}{R_t}}{\frac{2}{R_t}+\frac{R_t}{R_t}})^2=\frac{1}{R_3}(\frac{E}{\frac{2}{R_t}+1})^2[/tex3]

...IV
Desenvolvendo o denominador:

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[tex3]\frac{R_t+2}{R_t}=\frac{\frac{5R_3}{R_3+5}+2}{\frac{5R_3}{R_3+5}}=\frac{7R_3+10}{5R_3}[/tex3]

Em IV:

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[tex3]P=\frac{E^2}{R_3}(\frac{5R_3}{7R_3+10})^2[/tex3]

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[tex3]P=E^2\times \frac{5R_3}{(7R_3+10)^2}[/tex3]

A potência dissipada por

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[tex3]R_3[/tex3]

será máxima quando

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[tex3]\frac{5R_3}{(7R_3+10)^2}=\frac{5}{\frac{49R_3^2+100+140R_3}{R_3}}[/tex3]

tiver seu maior valor.
A fração tem seu maior valor quando o denominador for mínimo.

Aqui é onde eu não sei se estou acertando:

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[tex3]\frac{49R_3^2+100+140R_3}{R_3}=49R_3+\frac{100}{R_3}+100[/tex3]

Derivando em relação a [tex2]R_3[/tex2] para achar o mínimo:

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[tex3]f'(49R_3+\frac{100}{R_3}+100)=49-\frac{100}{R_3^2}[/tex3]

Fazendo:

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[tex3]f'=0\rightarrow 49-\frac{100}{R_3^2}=0\rightarrow R_3=\frac{10}{7}=1,4285\approx 1,43\,ohms[/tex3]

Deixo esta solução ao julgamento dos que sabem mais do que eu.
[ ]'s.