Ensino Médio

Mensagem não lidapor **neoreload** » 10 Ago 2014, 18:02 · Mensagem não lida por **neoreload** » 10 Ago 2014, 18:02

Se $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ e $d=-a$ , mostre que $f(f(x))=x$

Obrigado desde já.

Mensagem não lidapor **poti** » 10 Ago 2014, 20:00 · Mensagem não lida por **poti** » 10 Ago 2014, 20:00

$f(f(x)) = \frac{a \cdot \frac{ax+b}{cx-a} + b}{c \cdot \frac{ax+b}{cx-a} - a}$

Vou usar a artimanha de multiplicar por $\frac{cx-a}{cx-a}$ , pois não interfere em nada:

$f(f(x)) = \frac{a(ax+b) + b(cx-a)}{c(ax+b) - a(cx-a)}$

$f(f(x)) = \frac{a^2x + \cancel{ab} + bcx - \cancel{ab}}{\cancel{acx} + bc - \cancel{acx} + a^2}$

$f(f(x)) = \frac{\cancel{(a^2+bc)}x}{\cancel{a^2 + bc}}$

$f(f(x)) = x, \ _\blacksquare$

Vale lembrar que $a^2 + bc$ precisa ser diferente de zero para isso valer. Também é interessante ver que todas funções do tipo apresentam como inversa elas próprias.

Mensagem não lidapor **neoreload** » 10 Ago 2014, 20:45 · Mensagem não lida por **neoreload** » 10 Ago 2014, 20:45

Amigo tem alguma outra forma de fazer essa questão? Porque como estou voltando agora aos estudos, eu estou meio que esquecido de grande parte dos assuntos. Se não tiver outra forma, pelo menos teria como explicar mais o passo a passo? por exemplo não entendi o porque de multiplicar por a de um lado e somar por b do outro, além do fato de igualar o f(f(x)) a fração. Teria como explicar passo a passo mesmo? ou outra forma mais simples :S

Desculpe o incômodo :X

Mensagem não lidapor **poti** » 10 Ago 2014, 21:18 · Mensagem não lida por **poti** » 10 Ago 2014, 21:18

Vamos então por partes. Uma função expressa por $f(x) = alguma \ coisa$ funciona de tal forma que coloca-se um valor para $x$ e consegue-se outra coisa do lado da igualdade. Imaginemos uma função que mói carnes.

$f(x) = x \ \text{mo\'ida}$

$f(picanha) = picanha \ \text{mo\'ida}$
$f(galinha) = galinha \ \text{mo\'ida}$
$f(paleta) = paleta \ \text{mo\'ida}$

Perceba que tudo o que muda no argumento (o que está dentro dos parênteses), também muda do outro lado. Veja outro exemplo:

$f(x) = x^2 - 4$

$f(2) = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$
$f(5) = 5^2 - 4 = 25 - 4 = 21$
$f(j) = j^2 - 4$
$f(h+1) = (h+1)^2 - 4$
$f(feijoada) = (feijoada)^2 - 4$

Certo? Com isso em mente, fazer $f(f(x))$ é botar a função dentro dela mesmo. Pense num exemplo simples:

$f(x) = 2x + 1$
$f(f(x)) = 2(2x+1) + 1 = 4x + 2 + 1 = 4x + 3$

Vamos ao seu problema.

$f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}, \ d = -a$

Substituindo $d = -a$ :

$f(x) = \frac{ax+b}{cx-a}$

Substituamos alguns valores:

$f(caju) = \frac{a \cdot caju+b}{c \cdot caju-a}$
$f(111) = \frac{111a+b}{111c-a}$
$f(x^2) = \frac{a \cdot x^2+b}{c \cdot x^2-a}$

Certo? Ele pediu $f(f(x))$ , então vamos jogar ela dentro do próprio argumento. Vamos aplicar ela nela mesmo.

$f(f(x)) = \frac{a \cdot f(x)+b}{c \cdot f(x)-a}$
$f(f(x)) = \frac{a \cdot \frac{ax+b}{cx-a}+b}{c \cdot \frac{ax+b}{cx-a}-a}$

A partir daí, basta fazer as contas pra simplificar, que é o que eu fiz. Se você tiver problema em alguma das linhas da simplificação, pergunte mais especificamente.

Mensagem não lidapor **neoreload** » 10 Ago 2014, 21:56 · Mensagem não lida por **neoreload** » 10 Ago 2014, 21:56

Caramba rapaz, muito obrigado mesmo. Rapaz nenhum professor que eu tive explicou de uma forma tão boa como essa. Agora entendi sim, obrigado mesmo amigo. Ajudou bastante, e desculpa por ter dado trabalho.

Ensino Médio ⇒ Função Composta Tópico resolvido

Função Composta

Re: Função Composta

Re: Função Composta

Re: Função Composta

Re: Função Composta

Ensino Médio ⇒ Função Composta Tópico resolvido

Função Composta

Re: Função Composta

Re: Função Composta

Re: Função Composta

Re: Função Composta

Entrar | Registrar