Ensino Médio ⇒ Equação Logarítmica

[wms2014]

Se 5 [tex3]\log_{2}[sin(1)][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{2}[sin(1)][/tex3]

+4 [tex3]\log_{2}[cos(1)][/tex3]

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[tex3]\log_{2}[cos(1)][/tex3]

+3 [tex3]\log_{2}[cos(2)][/tex3]

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[tex3]\log_{2}[cos(2)][/tex3]

+2 [tex3]\log_{2}[cos(4)] + \log_{2}[cos(8)][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{2}[cos(4)] + \log_{2}[cos(8)][/tex3]

=x então o valor de [tex3]\log_{2}[sin(1)] + \log_{2}[sin(2)] + \log_{2}[sin(4)] + \log_{2}[sin(8)] + \log_{2}[sin(16)][/tex3]

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[tex3]\log_{2}[sin(1)] + \log_{2}[sin(2)] + \log_{2}[sin(4)] + \log_{2}[sin(8)] + \log_{2}[sin(16)][/tex3]

será igual a:

Resposta

---

Resposta: x+10

[PedroCunha]

De onde é a questão?

[wms2014]

De onde é a questão?

Essa, em especial, eu que elaborei. Mas a solução não é muito difícil não... acho até menos trabalhosa que a anterior.

[wms2014]

Tava aqui pensando... será que ninguém se interessou ou será que ninguém conseguiu? Vamos tentar ai galera... é uma questão interessante.

[PedroCunha]

Tem certeza que não existe nenhum erro no enunciado?

[wms2014]

Se alguém encontrar algum erro na solução por favor me avise. Também ficarei muito contente se alguém encontrar uma solução alternativa. Deixem sua opinião sobre essa questão... me ajudará muito!

5 [tex3]log_{2}[/tex3]

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[tex3]log_{2}[/tex3]

sin(1) + 4 [tex3]log_{2}[/tex3]

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[tex3]log_{2}[/tex3]

cos(1) + 3 [tex3]log_{2}[/tex3]

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[tex3]log_{2}[/tex3]

cos(2) + 2 [tex3]log_{2}[/tex3]

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[tex3]log_{2}[/tex3]

cos(4) + [tex3]log_{2}[/tex3]

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[tex3]log_{2}[/tex3]

cos(8)=x
[tex3]\rightarrow log_{2} sin^{5}[/tex3]

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[tex3]\rightarrow log_{2} sin^{5}[/tex3]

(1) + [tex3]log_{2} cos^{4}[/tex3]

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[tex3]log_{2} cos^{4}[/tex3]

(1) + [tex3]log_{2} cos^{3}[/tex3]

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[tex3]log_{2} cos^{3}[/tex3]

(2) + [tex3]log_{2} cos^{2}[/tex3]

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[tex3]log_{2} cos^{2}[/tex3]

(4) + [tex3]log_{2}[/tex3]

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[tex3]log_{2}[/tex3]

cos(8)=x
[tex3]\rightarrow log_{2}[sin^{5}(1)\cdot cos^{4}(1)\cdot cos^{3}(2)\cdot cos^{2}(4)\cdot cos(8)][/tex3]

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[tex3]\rightarrow log_{2}[sin^{5}(1)\cdot cos^{4}(1)\cdot cos^{3}(2)\cdot cos^{2}(4)\cdot cos(8)][/tex3]

Como [tex3]cos(a)= \frac{sin(2a)}{2sin(a)}[/tex3]

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[tex3]cos(a)= \frac{sin(2a)}{2sin(a)}[/tex3]

teremos:

[tex3]\rightarrow log_{2}[sin^{5}(1)\cdot \frac{sin^{4}(2)}{2^{4}\cdot sin^{4}(1)}\cdot \frac{sin^{3}(4)}{2^{3}\cdot sin^{3}(2) \cdot }\cdot \frac{sin^{2}(8)}{2^{2}\cdot sin^{2}(4)}\cdot \frac{sin(16)}{2^{1}\cdot sin(8)}\cdot]=x[/tex3]

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[tex3]\rightarrow log_{2}[sin^{5}(1)\cdot \frac{sin^{4}(2)}{2^{4}\cdot sin^{4}(1)}\cdot \frac{sin^{3}(4)}{2^{3}\cdot sin^{3}(2) \cdot }\cdot \frac{sin^{2}(8)}{2^{2}\cdot sin^{2}(4)}\cdot \frac{sin(16)}{2^{1}\cdot sin(8)}\cdot]=x[/tex3]

[tex3]\rightarrow log_{2}[[\frac{1}{2^{4}\cdot 2^{3}\cdot 2^{2} \cdot 2^{1} }]\cdot [\frac{sin^{5}(1)}{sin^{4}(1)}]\cdot [\frac{sin^{4}(2)}{sin^{3}(2)}]\cdot [\frac{sin^{3}(4)}{sin^{2}(4)}]\cdot [\frac{sin^{2}(8)}{sin(8)}]\cdot sin(16)]=x[/tex3]

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[tex3]\rightarrow log_{2}[[\frac{1}{2^{4}\cdot 2^{3}\cdot 2^{2} \cdot 2^{1} }]\cdot [\frac{sin^{5}(1)}{sin^{4}(1)}]\cdot [\frac{sin^{4}(2)}{sin^{3}(2)}]\cdot [\frac{sin^{3}(4)}{sin^{2}(4)}]\cdot [\frac{sin^{2}(8)}{sin(8)}]\cdot sin(16)]=x[/tex3]

[tex3]\rightarrow log_{2}[\frac{sin(1)\cdot sin(2)\cdot sin(4)\cdot sin(8)\cdot sin(16)}{2^{10}}]=x[/tex3]

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[tex3]\rightarrow log_{2}[\frac{sin(1)\cdot sin(2)\cdot sin(4)\cdot sin(8)\cdot sin(16)}{2^{10}}]=x[/tex3]

[tex3]\rightarrow log_{2} sin(1) +log_{2} sin(2) +log_{2} sin(4)+log_{2} sin(8)+log_{2} sin(16)-log_{2} 2^{10}=x[/tex3]

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[tex3]\rightarrow log_{2} sin(1) +log_{2} sin(2) +log_{2} sin(4)+log_{2} sin(8)+log_{2} sin(16)-log_{2} 2^{10}=x[/tex3]

[tex3]\rightarrow log_{2} sin(1) +log_{2} sin(2) +log_{2} sin(4)+log_{2} sin(8)+log_{2} sin(16)-10=x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow log_{2} sin(1) +log_{2} sin(2) +log_{2} sin(4)+log_{2} sin(8)+log_{2} sin(16)-10=x[/tex3]

[tex3]\rightarrow log_{2} sin(1) +log_{2} sin(2) +log_{2} sin(4)+log_{2} sin(8)+log_{2} sin(16)=x+10[/tex3]

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[tex3]\rightarrow log_{2} sin(1) +log_{2} sin(2) +log_{2} sin(4)+log_{2} sin(8)+log_{2} sin(16)=x+10[/tex3]