Ensino Médio

A figura apresenta um hexágono regular. Calcule a área da região sombreada.

: Vestibular - Unirio; hexagono.jpg (20.17 KiB) Exibido 819 vezes

Mensagem não lidapor **jedi** » Seg 04 Ago, 2014 16:59 · Mensagem não lida por **jedi** » Seg 04 Ago, 2014 16:59

sendo o raio igual a lado do hexagono então temos que a area total do hexagono é

$A_h=6\frac{\sqrt3}{2}.\frac{r^2}{2}$

$A_h=3\frac{\sqrt3.r^2}{2}$

temos que

$A\hat{B}C=F\hat{E}D=120^o$

ou seja 1/3 da area da circunferência de raio
com portanto a area sombreada sera a area do hexagono menos as duas fatias da circunferência

$A=3\frac{\sqrt3.r^2}{2}-2\frac{\pi r^2}{3}$

$A=3\frac{\sqrt3.4^2}{2}-2\frac{\pi 4^2}{3}$

A área do hexágono é seis vezes a área do triãngulo equilátero de lado 4 cm.
$A_{hexagono}=6 \cdot A_{triangulo \ equilatero}$
$A_{hexagono}=6 \cdot \frac{\ell^2 \cdot \sqrt3}{4}$
$A_{hexagono}=6 \cdot \frac{4^2 \sqrt3}{4}=24 \sqrt3 \ cm^2$

A área de cada setor circular é dada por:
$A_{setor \ cicular}=\frac{\alpha \cdot \pi \cdot r^2}{360^o}$ .
onde $r= 4 \ cm$ e $\alpha =120^o$ , $(\angle FED \ ou \ \angle ABC)$
$A_{setor \ circular}=\frac{120^0 \cdot\pi \cdot 4^2}{360^o}=\frac{16\pi }{3} \ cm^2$

Como são dois setores circularres: $A_{total \ dos \ setores \ circulares}=\frac{32\pi }{3} \ cm^2$

A área requerida será: $24\sqrt3-\frac{32\pi }{3}=\frac{72\sqrt3-32\pi }{3} \ cm^2$

Espero ter ajudado!

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