Pré-Vestibular

Mensagem não lidapor **LeoDiaz** » Seg 04 Ago, 2014 14:23

: 20140804_135329.jpg (24.27 KiB) Exibido 956 vezes

João pegou uma folha retangular de cartolina, de dimensões proporcionais a $4$ e a $5$ , e nela marcou seus vértices A,B,C e D e traçou os segmentos PQ, QM e MC conforme figura acima. Sabe-se que $AB>BC$ , $PM=MB$ e $\overline{PQ}//\overline{AD}$ . Se a razão entre as medidas dos segmentos $\overline{AP}$ e $\overline{AM}$ é expressa pela fração $\frac{1}{3}$ , a que percentual da área da folha de cartolina corresponde a área do triângulo CMQ

Consideremos a figura:

: Univest.jpg (40.25 KiB) Exibido 949 vezes

Pelos dados do problema temos:
$\frac{x}{y}=\frac{5}{4}$ e $\frac{a}{b}=\frac{1}{3}$
A base do $\Delta CQM$ é $2b$ e sua altura é $y$ , portanto sua área será:
$A_{\Delta CMQ}=\frac{2\cdot b \cdot y}{2}=by$ $(I)$

A área do quadrado $ABCD$ é dada por:
$A_{ABCD}=x \cdot y$ , mas $x=2b+a$ e $a=\frac{b}{3}$ , portanto:
$A_{ABCD}=\left(2b+a\right)\cdot y$
$A_{ABCD}=\left( 2 \cdot b +\frac{b}{3}\right) \cdot y$
$A_{ABCD}=\frac{7\cdot b\cdot y}{3}$ $(II)$

A razão entre a área do $\Delta CMQ$ e o quadrado $ABCD$ é:
$\frac{A_{\Delta CMQ}}{A_{ABCD}}=\frac{b \cdot y}{\frac{7 \cdot b \cdot y}{3}}=\frac{3}{7}=42\frac{6}{7}\%$

Espero ter ajudado!

Mensagem não lidapor **jedi** » Seg 04 Ago, 2014 16:41 · Mensagem não lida por **jedi** » Seg 04 Ago, 2014 16:41

$\frac{AP}{AM}=\frac{1}{3}$

$\frac{AP}{AP+PM}=\frac{1}{3}$

$3AP=AP+PM$

$AP=\frac{PM}{2}$

$AB=AP+PM+MC$

$AB=\frac{PM}{2}+PM+PM$

$AB=\frac{5.PM}{2}$

$PM=\frac{2.AB}{5}$

$PB=\frac{4.AB}{5}$

$A_{ABCD}=AB.AD$

$A_{CMQ}=\frac{AD.PB}{2}$

$A_{CMQ}=\frac{AD}{2}.\frac{4.AB}{5}$

$A_{CMQ}=\frac{2.AD.AB}{5}$

$\frac{A_{CMQ}}{A_{ABCD}}=\frac{2.AB.AD}{5.AB.AD}$

$\frac{A_{CMQ}}{A_{ABCD}}=\frac{2}{5}=40\%$

A resolução do jedi está correta pois me equivoquei no momento de escrever a razão $\frac{a}{b}{=\frac{1}{3}$ .
Grato pela correção.

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