Ensino MédioTriangulo retangulo

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RicardoMB
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Ago 2014 03 12:34

Triangulo retangulo

Mensagem não lida por RicardoMB »

Dado um triângulo retângulo ABC, de medida de hipotenusa a, determine quais condições o triângulo ABC tem a maior área?
To apanhando, não sei o que fazer, alguém pode me instruir?
Não tenho o gabarito




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jedi
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Ago 2014 03 15:00

Re: Triangulo retangulo

Mensagem não lida por jedi »

sendo um dos angulos do triangulo ingual a \theta então seus lados serão

x=a\sin(\theta)

y=a\cos(\theta)

portanto sua area sera

A=\frac{xy}{2}=\frac{a^2.\sin(\theta)\cos(\theta)}{2}


usando a relação de soma de angulos

A=\frac{a^2.\sin(2\theta)}{4}

portanto a area tera seu valor maximo quando \sin(2\theta) tiver valor maximo
e isso ocorre quando

\sin(2\theta)=1

2\theta=90^o

portanto

\theta=45^o

ou seja um triangulo retangulo isoceles com hipotenusa igua a a e catetos iguais a

a\frac{\sqrt2}{2}

Última edição: jedi (Dom 03 Ago, 2014 15:00). Total de 1 vez.



roberto
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Ago 2014 03 15:06

Re: Triangulo retangulo

Mensagem não lida por roberto »

Sem título.png
Sem título.png (8.15 KiB) Exibido 1051 vezes
Veja que [tex3]b=a.cos\alpha[/tex3] ----equação (I).
A área S é dada por: [tex3]S=\frac{1}{2}ab.sen\alpha[/tex3] ----equação (II).
substituindo (I) em (II):
[tex3]S=\frac{1}{2}a^2sen\alpha .cos\alpha[/tex3]
[tex3]S=\frac{1}{4}a^2.sen(2\alpha )[/tex3] -----Pra essa área ser máxima, o seno deverá ser máximo!
O maior valor do seno é 1, (que acontece para 90º).
Então:[tex3]sen(2\alpha )=sen90[/tex3]
LOGO: [tex3]\alpha =45[/tex3]
Ou seja: Para que o triângulo retângulo tenha área máxima ele deverá ser ISÓSCELES!!!
Última edição: roberto (Dom 03 Ago, 2014 15:06). Total de 1 vez.



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RicardoMB
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Ago 2014 03 15:28

Re: Triangulo retangulo

Mensagem não lida por RicardoMB »

Muito legal, consegui entender!
Obrigado aos dois!




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