Determinar, justificando sua resposta, se a matriz [tex3]A[/tex3]
é diagonalizável. Caso seja diagonalizável, determine uma matriz [tex3]P[/tex3]
que diagonaliza [tex3]A[/tex3]
e calcular [tex3]P^{-1}AP[/tex3]
.
[tex3]A = \begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 5 & 0 \\
1 & -2 & 1 & -1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Álgebra Linear - Diagonalização de Matrizes
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jedi
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Jul 2014
27
19:36
Re: Álgebra Linear - Diagonalização de Matrizes
os autovalores da matriz A são os valores dos elementos da matriz diagonal e os autovetores são as colunas da matriz P
comente se tiver duvida na hora de fazer
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Editado pela última vez por ALDRIN em 28 Jul 2014, 09:43, em um total de 1 vez.
Razão: Arrumar Título
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Tiagofb
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Jul 2014
27
23:32
Re: Álgebra Linear - Diagonalização de Matrizes
Man realmente não sei como proceder nessa questão... tô perdido
Tenho prova de álgebra amanhã e essa parte de diagonalização nem vi direito...
se puder resolver eu ficaria muito grato
Tenho prova de álgebra amanhã e essa parte de diagonalização nem vi direito...
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Editado pela última vez por ALDRIN em 28 Jul 2014, 09:43, em um total de 1 vez.
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jedi
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Jul 2014
28
11:33
Re: Álgebra Linear - Diagonalização de Matrizes
tudo bem
calculando os autovalores do sistema
[tex3]\det\begin{pmatrix}3 -\lambda& 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1-\lambda & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 5 -\lambda& 0 \\ 1 & -2 & 1 & -1-\lambda\\ \end{pmatrix}=0[/tex3]
[tex3](3-\lambda)(1-\lambda)(5-\lambda)(-1-\lambda)=0[/tex3]
então o os autovalores serão
[tex3]\lambda=\begin{cases}3\\1\\5\\-1\end{cases}[/tex3]
agora alculando os autovetores
[tex3]\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 &1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 5& 0 \\ 1 & -2 & 1 & -1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\lambda.\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}[/tex3]
para [tex3]\lambda=3[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 &1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 5& 0 \\ 1 & -2 & 1 & -1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=3.\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}3x_1=3x_1\\-x_1-2x_2=0\\-4x_1-2x_2+2x_3=0\\-2x_1-5x_2-2x_3-4x_4=0\end{cases}[/tex3]
com isso chegamos em
[tex3]\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\-\frac{1}{2}x_1\\\frac{3}{2}x_1\\-\frac{5}{8}x_1\end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\-\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\\-\frac{5}{8}\end{pmatrix}[/tex3]
esse é o primeire autovetor
para [tex3]\lambda=1[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 &1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 5& 0 \\ 1 & -2 & 1 & -1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=1.\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}x_1=0\\x_2=x_2\\x_1+4x_3=0\\-3x_2-2x_4=0\end{cases}[/tex3]
com isso chegamos em
[tex3]\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\x_2\\0\\-\frac{3}{2}x_2\end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-\frac{3}{2}\end{pmatrix}[/tex3]
esse é o segundo autovetor
para [tex3]\lambda=5[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 &1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 5& 0 \\ 1 & -2 & 1 & -1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=5.\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}x_1=0\\x_2=0\\x_3=x_3\\-4x_1-7x_2-4x_3-6x_4=0\end{cases}[/tex3]
com isso chegamos em
[tex3]\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\x_3\\-\frac{3}{2}x_3\end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-\frac{2}{3}\end{pmatrix}[/tex3]
esse é o terceiro autovetor
para [tex3]\lambda=-1[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 &1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 5& 0 \\ 1 & -2 & 1 & -1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=-1.\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}x_1=0\\x_2=0\\x_3=0\\2x_1-x_2+2x_3-x_4=-x_4\end{cases}[/tex3]
com isso chegamos em
[tex3]\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\x_4\end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_4\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}[/tex3]
esse é o quarto autovetor
portanto a matriz diagonal sera
[tex3]D=\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&5&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}[/tex3]
e
[tex3]P=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-\frac{1}{2}&1&0&0\\\frac{3}{2}&0&1&0\\-\frac{5}{8}&-\frac{3}{2}&-\frac{2}{3}&1\end{pmatrix}[/tex3]
calculando os autovalores do sistema
[tex3]\det\begin{pmatrix}3 -\lambda& 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1-\lambda & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 5 -\lambda& 0 \\ 1 & -2 & 1 & -1-\lambda\\ \end{pmatrix}=0[/tex3]
[tex3](3-\lambda)(1-\lambda)(5-\lambda)(-1-\lambda)=0[/tex3]
então o os autovalores serão
[tex3]\lambda=\begin{cases}3\\1\\5\\-1\end{cases}[/tex3]
agora alculando os autovetores
[tex3]\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 &1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 5& 0 \\ 1 & -2 & 1 & -1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\lambda.\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}[/tex3]
para [tex3]\lambda=3[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 &1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 5& 0 \\ 1 & -2 & 1 & -1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=3.\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}3x_1=3x_1\\-x_1-2x_2=0\\-4x_1-2x_2+2x_3=0\\-2x_1-5x_2-2x_3-4x_4=0\end{cases}[/tex3]
com isso chegamos em
[tex3]\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\-\frac{1}{2}x_1\\\frac{3}{2}x_1\\-\frac{5}{8}x_1\end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\-\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\\-\frac{5}{8}\end{pmatrix}[/tex3]
esse é o primeire autovetor
para [tex3]\lambda=1[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 &1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 5& 0 \\ 1 & -2 & 1 & -1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=1.\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}x_1=0\\x_2=x_2\\x_1+4x_3=0\\-3x_2-2x_4=0\end{cases}[/tex3]
com isso chegamos em
[tex3]\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\x_2\\0\\-\frac{3}{2}x_2\end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-\frac{3}{2}\end{pmatrix}[/tex3]
esse é o segundo autovetor
para [tex3]\lambda=5[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 &1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 5& 0 \\ 1 & -2 & 1 & -1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=5.\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}x_1=0\\x_2=0\\x_3=x_3\\-4x_1-7x_2-4x_3-6x_4=0\end{cases}[/tex3]
com isso chegamos em
[tex3]\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\x_3\\-\frac{3}{2}x_3\end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-\frac{2}{3}\end{pmatrix}[/tex3]
esse é o terceiro autovetor
para [tex3]\lambda=-1[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 &1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 5& 0 \\ 1 & -2 & 1 & -1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=-1.\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}x_1=0\\x_2=0\\x_3=0\\2x_1-x_2+2x_3-x_4=-x_4\end{cases}[/tex3]
com isso chegamos em
[tex3]\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\x_4\end{pmatrix}[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_4\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}[/tex3]
esse é o quarto autovetor
portanto a matriz diagonal sera
[tex3]D=\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&5&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}[/tex3]
e
[tex3]P=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-\frac{1}{2}&1&0&0\\\frac{3}{2}&0&1&0\\-\frac{5}{8}&-\frac{3}{2}&-\frac{2}{3}&1\end{pmatrix}[/tex3]
Editado pela última vez por caju em 23 Out 2017, 00:28, em um total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3
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