Ensino Fundamental

Para quantos valores do coeficiente as equações [tex3]x^{2}[/tex3] +ax+1=0 e [tex3]x^{2}[/tex3] -x-a=0 possuem uma solução real comum?
A)0
B)1
C)2
D)3
E)infinitos

Em $x^{2}+ax+1=0$ , cujas raízes são $x_1$ e $x_2$ ,

$x_1+x_2=-a$
$x_1x_2=1$

Em $y^{2}-y-a=0$ , cujas raízes são $y_1$ e $y_2$ ,

$y_1+y_2=1\ (I)$
$y_1y_2=-a$

Assim,

$\begin{cases}x_1+x_2=y_1y_2\\ x_1x_2=y_1+y_2\end{cases}$

Supondo $x_2=y_1$ ,

$\begin{cases}x_1+y_1=y_1y_2\rightarrow y_1=\frac{x_1}{y_2-1}\\ x_1y_1=y_1+y_2\rightarrow y_1=\frac{y_2}{x_1-1}\end{cases}$

Daí,

$\frac{x_1}{y_2-1}=\frac{y_2}{x_1-1}$
$x_1(x_1-1)=y_2(y_2-1)$
$x_1^2-x_1=y_2^2-y_2$
$x_1^2-y_2^2=x_1-y_2$
$(x_1+y_2)(x_1-y_2)=x_1-y_2$
$x_1+y_2=1\ (II)$

Montando um sistema com as equações $(I)$ e $(II)$ :

$\begin{cases} y_1+y_2=1\\ x_1+y_2=1 \end{cases}$

Mas como supusemos $x_2=y_1$ ,

$\begin{cases} x_2+y_2=1\\ x_1+y_2=1 \end{cases}\rightarrow x_1=x_2$ , ou seja, a equação $x^{2}+ax+1=0$ deve ter apenas uma única raiz.

$x^{2}+ax+1=0$ terá uma única raiz quando $\Delta=a^2-4\cdot1\cdot1=0\rightarrow a=\pm2$

No entanto, para que $y^{2}-y-a=0$ tenha raízes reais, temos que $\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-a)\geq0\rightarrow a\geq-\frac{1}{4}$

Logo,

$S=\{-2,2\}\ \cap\ \left[-\frac{1}{4},+\infty\right[=\{2\}$

Resposta: B.

Olá, outro modo mais sucinto seria p a raiz comum às equações [tex3]x^{2}+ax+1=0[/tex3] e [tex3]x^{2}-x-a=0[/tex3]
Então,teremos o sistema:
[tex3]p^{2}+ap+1=0[/tex3]
[tex3]p^{2}-p-a=0[/tex3] .(-1)

[tex3]p^{2}+ap+1=0[/tex3]
[tex3]-p^{2}+p+a=0[/tex3]
--------------------------------
p(a+1)+(a+1)=0 [tex3]\rightarrow p=-1[/tex3]

Substituindo em [tex3]x^{2}-x-a=0 \rightarrow (-1)^{2}-(-1)-a=0 \rightarrow a=2[/tex3]

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