Pré-Vestibular ⇒ (FGV-SP) Circunferência

[Delick]

A medida do ângulo inscrito na circunferência de centro O é:

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a) 125°
b) 110°
c) 120°
d) 100°
e) 135°

[PedroCunha]

Olá.

Se

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[tex3]C\hat{A}B[/tex3]

vale 35°, então

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[tex3]C\hat{O}B[/tex3]

vale 70°, pois o ângulo central vale o dobro do ângulo inscrito. O arco

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[tex3]CBA[/tex3]

mede

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[tex3]180^{\circ} + 70^{\circ} = 250^{\circ}[/tex3]

. Como

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[tex3]A\hat{D}C[/tex3]

- o ângulo pedido - é um ângulo inscrito, ele vale

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[tex3]\frac{250}{2} = 125^{\circ}[/tex3]

.

Att.,
Pedro

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Eu até entendi... Mas porque 70° + 180°? Por que eu sei que os dois formam ângulos suplementares, onde a soma deve dá 180°, mas se CÔB é 70° o CAB num devia ser 180°? Porque se uma parte é 70° a outra, que no caso seria CÔA seria 110°, não?

[PedroCunha]

Não são suplementares; você está pensando em triângulos. O arco citado na resolução compreende o arco de 180° (diâmetro) e o arco

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[tex3]C\hat{O}B[/tex3]

. Não sei explicar muito bem; sou péssimo em Geometria.

[roberto]

Vendo de outra forma:

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[tex3]A\hat{C}B[/tex3]

vale 90º, pois é ângulo inscrito a uma semicircunferência.

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[tex3]A\hat{B}C[/tex3]

vale 55º , pois a soma dos ângs. internos de um [tex3]\Delta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta[/tex3]

vale 180º.
Então

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[tex3]A\hat{D}C[/tex3]

mede 125º, pois está oposto ao âng.

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[tex3]A\hat{B}C[/tex3]

.
E está escrito: "Em quadriláteros inscritíveis os lados opostos são suplementares"
"Em quadriláteros cíclicos, a soma dos ângulos opostos vale 180º"

[Delick]

Talvez eu esteja fazendo confusão por não ter visto muito o assunto. Mas, vamos ao meu modo de ver que provavelmente está errado.

O teorema do ângulo inscrito diz que numa circunferência, a medida do ângulo central é igual ao dobro da medida do ângulo inscrito que subtende o mesmo arco. Certo, o meu modo de ver é assim, já que o ângulo ACB é 35°, o ângulo CÔB deve ser 70°, ambos subtendido no mesmo arco CB, segundo o teorema. Então, o ângulo ADC não deveria ser 110° justamente por causa que o ângulo CÔB é 70°, que falta para completar 180° no arco AB?

[roberto]

Talvez eu esteja fazendo confusão por não ter visto muito o assunto. Mas, vamos ao meu modo de ver que provavelmente está errado.

O teorema do ângulo inscrito diz que numa circunferência, a medida do ângulo central é igual ao dobro da medida do ângulo inscrito que subtende o mesmo arco. Certo, o meu modo de ver é assim, já que o ângulo ACB é 35°, o ângulo CÔB deve ser 70°, ambos subtendido no mesmo arco CB, segundo o teorema. Então, o ângulo ADC não deveria ser 110° justamente por causa que o ângulo CÔB é 70°, que falta para completar 180° no arco AB?

Vc está fazendo confusão! O que mede 110° é o ARCO ADC, e não o ângulo ADC.

[Delick]

Verdade, sabia que estava fazendo confusão...

Agora em relação a sua resolução roberto, confesso que não entendi.

Porque não sei como você chegou que ACB vale 90° ou ABC vale 55°, claro que chegariamos ao valor de algum deles quando se tem o outro, já que a soma dos ângs. internos de um triângulo vale 180°, isso eu sei, mas só temos o CÂB. Como você chegou ao valor de um deles? No ACB você diz que vale 90° justamente porque ele é ângulo inscrito a uma semicircunferência, não entendi.

Se eu entendi, isso quer dizer que qualquer segmento que forma um angulo inscrito do diâmetro da circunferência a um ponto extremo será 90°?

[roberto]

Verdade, sabia que estava fazendo confusão...

Agora em relação a sua resolução roberto, confesso que não entendi.

Porque não sei como você chegou que ACB vale 90° ou ABC vale 55°, claro que chegariamos ao valor de algum deles quando se tem o outro, já que a soma dos ângs. internos de um triângulo vale 180°, isso eu sei, mas só temos o CÂB. Como você chegou ao valor de um deles? No ACB você diz que vale 90° justamente porque ele é ângulo inscrito a uma semicircunferência, não entendi.

Se eu entendi, isso quer dizer que qualquer segmento que forma um angulo inscrito do diâmetro da circunferência a um ponto extremo será 90°?

Isso! Todo âng. inscrito numa semicirc. é reto! E é fácil entender por quê:
1) O âng. inscrito vale a metade do arco que forma.
2) O arco que uma semicircunf. forma é de 180º.

[Delick]

Roberto, eu entendi perfeitamente e antes de agradecer a você e ao PedroCunha, me tira só mais uma dúvida.

Não sei se é confusão minha, mas imaginemos que o ponto C, estivesse no lugar do ponto D, e não existisse mais o D, daria ainda para ser 90°? Seria um ângulo reto?