Pré-Vestibular ⇒ Solução alternativa P.1 - Maratona Mat FUVEST/Unicamp

[emanuel9393]

Essa solução e mais trabalhosa da que foi apresentada. Gostei muito da resolução do cscarmelo.
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A área do quadrado

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[tex3]S_Q[/tex3]

é dada por:

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[tex3]S_Q=l^2[/tex3]

Para calcular a área

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[tex3]S_T[/tex3]

do triângulo, primeiramente observemos que (obtido pela lei dos senos):

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[tex3]OA=OB=d= \dfrac{l\cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right)}{\sin (\theta)}[/tex3]

Logo, a altura

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[tex3]h[/tex3]

do triângulo (e consequentemente a sua área) é dado por:

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[tex3]h=d \cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right)=\dfrac{l\cos^2\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}{\sin(\theta)}\Rightarrow S_T = \dfrac{l\cdot h}{2}=\dfrac{l^2\cos^2\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}{2\sin (\theta)}[/tex3]

Com isso, para que a área do quadrado seja maior que a área do triângulo, devemos ter:

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[tex3]S_Q > S_T \Rightarrow l^2 >\dfrac{l^2 \cos^2 \left(\dfrac{\theta}{2}\right)}{2 \sin \theta} \Rightarrow 1> \dfrac{cos^2 \left(\dfrac{\theta}{2}\right)}{4 \sin \left(\dfrac{\theta}{2}\right)\cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right)}\Rightarrow[/tex3]

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[tex3]\Rightarrow \tan \left(\dfrac{\theta}{2}\right)>\dfrac{1}{4}[/tex3]

O resto segue como foi feito na questão...

[csmarcelo]

Eu tenho problema com a Lei dos Senos.

Emanuel,

Como você chegou à conclusão de que a medida dos lados congruentes de um triângulo isósceles é igual a

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[tex3]\dfrac{l\cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right)}{\sin (\theta)}[/tex3]

?