Uma propriedade rural precisa atender à legislação em vigor e manter uma reserva ambiental de sua mata nativa. Para tanto, decidiu-se por uma faixa retangular ABCD que será demarcada. Os três vértices consecutivos dessa faixa têm coordenadas cartesianas A(3, –2), B(0, 1) e C(5, 6). Nesse contexto, assinale o que for correto.
01) A menor das dimensões dessa reserva ambiental é 5 raiz de 2 unidades de comprimento
02) A área da reserva é de 30 unidades de área.
04) O perímetro da reserva é maior que 16 unidades de comprimento.
08) O vértice D tem coordenadas (8, 3).
Alguém sabe a resolução ?
Pré-Vestibular ⇒ (Uepg - 2012) Geometria Analítica
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Valdilenex
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Jul 2014
02
14:38
(Uepg - 2012) Geometria Analítica
Editado pela última vez por poti em 03 Jul 2014, 14:35, em um total de 1 vez.
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PedroCunha
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Jul 2014
03
11:32
Re: (Uepg - 2012) Geometria Analítica
Olá.
Seja [tex3]AB[/tex3] a altura do retângulo e [tex3]BC[/tex3] a base. Pelo conceito de distância entre dois pontos:
[tex3]\begin{cases}
AB = \sqrt{(1-(-2))^2 + (0-3)^2} \therefore AB = 3\sqrt2 \\
BC = \sqrt{(6-1)^2 + (5-0)^2} \therefore BC = 5\sqrt2
\end{cases}[/tex3]
Seja [tex3]D(x_D,y_D)[/tex3] . Como temos um retângulo, [tex3]d_{D,A} = 5\sqrt2, d_{D,C} = 3\sqrt2[/tex3] . Com essas informações, chegamos no seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
y^2+x^2+4y-6x=37 \dots I \\
y^2+x^2-12y-10x=-43 \dots II
\end{cases}
\\\\
I-II: 16y + 4x = 80 \therefore 4y+x = 20 \rightarrow x = 20 - 4y \dots III \\\\ III \text{ em } I: y^2 + 400 - 160y + 16y^2 + 4y - 120 + 24y = 37 \rightarrow \\\\ y = 3 \text{ ou } y = \frac{81}{7} \Leftrightarrow x = 8 \text{ ou } x = \frac{16}{17}[/tex3]
Como [tex3]y_D < y_C[/tex3] - coloque no plano cartesiano - , ficamos com [tex3]D(8,3)[/tex3] .
01) Falsa. A menor das dimensões mede [tex3]3\sqrt2 u.c.[/tex3]
02) Verdadeira. [tex3]S = 3\sqrt2 \cdot 5\sqrt2 \therefore S = 15 \sqrt2^2 = 30 u.a.[/tex3]
04) Verdadeira. [tex3]2p = 2 \cdot 3\sqrt2 + 2 \cdot 5\sqrt2 \therefore 2p = 16\sqrt2 u.c.[/tex3]
08) Verdadeira.
Att.,
Pedro
Seja [tex3]AB[/tex3] a altura do retângulo e [tex3]BC[/tex3] a base. Pelo conceito de distância entre dois pontos:
[tex3]\begin{cases}
AB = \sqrt{(1-(-2))^2 + (0-3)^2} \therefore AB = 3\sqrt2 \\
BC = \sqrt{(6-1)^2 + (5-0)^2} \therefore BC = 5\sqrt2
\end{cases}[/tex3]
Seja [tex3]D(x_D,y_D)[/tex3] . Como temos um retângulo, [tex3]d_{D,A} = 5\sqrt2, d_{D,C} = 3\sqrt2[/tex3] . Com essas informações, chegamos no seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
y^2+x^2+4y-6x=37 \dots I \\
y^2+x^2-12y-10x=-43 \dots II
\end{cases}
\\\\
I-II: 16y + 4x = 80 \therefore 4y+x = 20 \rightarrow x = 20 - 4y \dots III \\\\ III \text{ em } I: y^2 + 400 - 160y + 16y^2 + 4y - 120 + 24y = 37 \rightarrow \\\\ y = 3 \text{ ou } y = \frac{81}{7} \Leftrightarrow x = 8 \text{ ou } x = \frac{16}{17}[/tex3]
Como [tex3]y_D < y_C[/tex3] - coloque no plano cartesiano - , ficamos com [tex3]D(8,3)[/tex3] .
01) Falsa. A menor das dimensões mede [tex3]3\sqrt2 u.c.[/tex3]
02) Verdadeira. [tex3]S = 3\sqrt2 \cdot 5\sqrt2 \therefore S = 15 \sqrt2^2 = 30 u.a.[/tex3]
04) Verdadeira. [tex3]2p = 2 \cdot 3\sqrt2 + 2 \cdot 5\sqrt2 \therefore 2p = 16\sqrt2 u.c.[/tex3]
08) Verdadeira.
Att.,
Pedro
Editado pela última vez por PedroCunha em 03 Jul 2014, 11:32, em um total de 2 vezes.
"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."
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dulgar
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Jul 2014
03
12:46
Re: (Uepg - 2012) Geometria Analítica
- TERRENO.png (4.37 KiB) Exibido 4791 vezes
Achei as coordenadas de [tex3]D[/tex3] por outros cálculos e a resposta que encontrei foi [tex3]D(3,8)[/tex3] :
Reta passando por [tex3]A(3,-2)[/tex3] e por [tex3]B(0,1)[/tex3] :
[tex3]y+2=\frac{-2-1}{3-0}(x-3)[/tex3] , coeficiente angular [tex3]m=-1[/tex3]
Reta [tex3]r\rightarrow y=-x+1[/tex3]
Reta paralela à [tex3]r[/tex3] e passando por [tex3]C(5,6)[/tex3] :
[tex3]y-6=-1(x-5)[/tex3]
Reta [tex3]f\rightarrow y=-x+11[/tex3]
Reta que passa por [tex3]B(0,1)[/tex3] e [tex3]C(5,6)[/tex3] :
[tex3]y-1=\frac{1-6}{0-5}(x-0)[/tex3]
Reta [tex3]g\rightarrow y=x+1[/tex3] coeficiente angular [tex3]m=1[/tex3]
Reta paralela à [tex3]g[/tex3] e passando por [tex3]A(3,-2)[/tex3] :
[tex3]y-3=x+2[/tex3]
Reta [tex3]h \rightarrow y=x+5[/tex3]
Ponto [tex3]D[/tex3] , interseção de [tex3]f\,e\,h[/tex3] :
[tex3]y=-x+11\,e\,y=x+5[/tex3] , resolvendo este sistema: [tex3]y=8\,e\,x=3[/tex3]
Ponto [tex3]D(3,8)[/tex3] .
Onde está o meu erro?
[ ]'s.
Editado pela última vez por dulgar em 03 Jul 2014, 12:46, em um total de 2 vezes.
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PedroCunha
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Jul 2014
03
13:07
Re: (Uepg - 2012) Geometria Analítica
Reveja sua reta h.
[tex3]y+2= x-3 \therefore y=x-5[/tex3]
[tex3]y+2= x-3 \therefore y=x-5[/tex3]
Editado pela última vez por PedroCunha em 03 Jul 2014, 13:07, em um total de 2 vezes.
"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."
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