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[jomatlove]

Olá,pessoal!

Alguém pode me dar uma ajudinha?

Se [tex3]\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\cdot\left(y+\sqrt{y^{2}+1}\right)=p[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\cdot\left(y+\sqrt{y^{2}+1}\right)=p[/tex3]

, então [tex3]x+y[/tex3]

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[tex3]x+y[/tex3]

é igual a:

a) [tex3]\frac{p-1}{p}[/tex3]

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[tex3]\frac{p-1}{p}[/tex3]

b) [tex3]\frac{p-1}{2p}[/tex3]

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[tex3]\frac{p-1}{2p}[/tex3]

c) [tex3]\frac{p-1}{\sqrt{p}}[/tex3]

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[tex3]\frac{p-1}{\sqrt{p}}[/tex3]

d) [tex3]\frac{p}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{p}{2}[/tex3]

e) [tex3]\frac{\sqrt{p}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{p}}{2}[/tex3]

.

Desde de já agradeço!

[PedroCunha]

Olá, jomatlove.

[tex3]x + \sqrt{x^2+1} = \frac{p}{y + \sqrt{y^2+1}} \therefore x + \sqrt{x^2+1} = \frac{p \cdot (y - \sqrt{y^2+1})}{y^2 - y^2 - 1} \therefore \\\\ x + \sqrt{x^2+1} = p \cdot (\sqrt{y^2+1} - y)[/tex3]

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[tex3]x + \sqrt{x^2+1} = \frac{p}{y + \sqrt{y^2+1}} \therefore x + \sqrt{x^2+1} = \frac{p \cdot (y - \sqrt{y^2+1})}{y^2 - y^2 - 1} \therefore \\\\ x + \sqrt{x^2+1} = p \cdot (\sqrt{y^2+1} - y)[/tex3]

De maneira análoga:

[tex3]y + \sqrt{y^2+1} = \frac{p}{x + \sqrt{x^2+1}} \therefore y + \sqrt{y^2+1} = \frac{p \cdot (x - \sqrt{x^2+1})}{x^2-x^2-1} \therefore \\\\ y + \sqrt{y^2+1} = p \cdot (\sqrt{x^2+1} - x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y + \sqrt{y^2+1} = \frac{p}{x + \sqrt{x^2+1}} \therefore y + \sqrt{y^2+1} = \frac{p \cdot (x - \sqrt{x^2+1})}{x^2-x^2-1} \therefore \\\\ y + \sqrt{y^2+1} = p \cdot (\sqrt{x^2+1} - x)[/tex3]

Assim:

[tex3]x + \sqrt{x^2+1} + y + \sqrt{y^2+1} = p\sqrt{y^2+1} - p \cdot (x+y) + p \sqrt{x^2+1} \therefore \\\\
(x+y) + p \cdot (x+y) = p \cdot (\sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1}) - (\sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1}) \therefore \\\\ x+y = \frac{(\sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1}) \cdot (p-1)}{p+1}, p \neq -1[/tex3]

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[tex3]x + \sqrt{x^2+1} + y + \sqrt{y^2+1} = p\sqrt{y^2+1} - p \cdot (x+y) + p \sqrt{x^2+1} \therefore \\\\
(x+y) + p \cdot (x+y) = p \cdot (\sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1}) - (\sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1}) \therefore \\\\ x+y = \frac{(\sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1}) \cdot (p-1)}{p+1}, p \neq -1[/tex3]

Ainda, desenvolvendo de uma maneira diferente:

[tex3]x + \sqrt{x^2+1} + y + \sqrt{y^2+1} = p\sqrt{y^2+1} - p \cdot (x+y) + p \sqrt{x^2+1} \therefore \\\\ (\sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1}) - p \cdot (\sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1} ) = -(x+y) \cdot (p+1) \therefore \\\\ (\sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1}) \cdot (1-p) = (x+y) \cdot (1-p) \\\\ (1-p) \cdot (\sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1} - (x+y) ) = 0 \\\\ \Leftrightarrow p = 1 \text{ ou } x+y = \sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1}[/tex3]

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[tex3]x + \sqrt{x^2+1} + y + \sqrt{y^2+1} = p\sqrt{y^2+1} - p \cdot (x+y) + p \sqrt{x^2+1} \therefore \\\\ (\sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1}) - p \cdot (\sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1} ) = -(x+y) \cdot (p+1) \therefore \\\\ (\sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1}) \cdot (1-p) = (x+y) \cdot (1-p) \\\\ (1-p) \cdot (\sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1} - (x+y) ) = 0 \\\\ \Leftrightarrow p = 1 \text{ ou } x+y = \sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1}[/tex3]

Se [tex3]p = 1[/tex3]

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[tex3]p = 1[/tex3]

, [tex3]x+y = 0[/tex3]

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[tex3]x+y = 0[/tex3]

. Se [tex3]x+y = \sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1}[/tex3]

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[tex3]x+y = \sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1}[/tex3]

, temos:

[tex3]x+y = \frac{(x+y) \cdot (p-1)}{p+1} \therefore (x+y) \cdot (p+1) - (x+y) \cdot (p-1) \therefore \\\\ (x+y) \cdot (p+1-p+1) = 0 \therefore (x+y) \cdot 2 = 0 \Leftrightarrow x+y = 0[/tex3]

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[tex3]x+y = \frac{(x+y) \cdot (p-1)}{p+1} \therefore (x+y) \cdot (p+1) - (x+y) \cdot (p-1) \therefore \\\\ (x+y) \cdot (p+1-p+1) = 0 \therefore (x+y) \cdot 2 = 0 \Leftrightarrow x+y = 0[/tex3]

Bom, provamos que [tex3]x+y = 0[/tex3]

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[tex3]x+y = 0[/tex3]

. Mas não sei como colocar isso em função de [tex3]p[/tex3]

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[tex3]p[/tex3]

.

Alguém?

Abraços,
Pedro

[PedroCunha]

Up!

[PedroCunha]

Up!

[Ittalo25]

[undefinied3]

Há um erro nas passagens do colega.
"Ainda, desenvolvendo de uma maneira diferente:"
Da segunda para terceira linha, ele não distribui o sinal de menos corretamente do lado direito.-(p+1) virou (1-p), que gerou a conclusão de que x+y=0. De fato, isso é verdade, apenas para p=1. Veja que naturalmente parece incoerente eu ter obrigatoriamente x+y=0 em todos os casos, mesmo para p livre. Segue minha tentativa.

[tex3]\cotg(2a)=x[/tex3]

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[tex3]\cotg(2a)=x[/tex3]

[tex3]\cotg(2b)=y[/tex3]

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[tex3]\cotg(2b)=y[/tex3]

Então o enunciado está dizendo que (provado no final)
[tex3]\cotg(a)*\cotg(b)=p[/tex3]

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[tex3]\cotg(a)*\cotg(b)=p[/tex3]

E quer que encontremos [tex3]\cotg(2a)+\cotg(2b)[/tex3]

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[tex3]\cotg(2a)+\cotg(2b)[/tex3]

em função disso.

[tex3]\cotg(2a)+\cotg(2b)=\frac{\cotg(a)}{2}-\frac{1}{2\cotg(a)}+\frac{\cotg(b)}{2}-\frac{1}{2\cotg(b)}=[/tex3]

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[tex3]\cotg(2a)+\cotg(2b)=\frac{\cotg(a)}{2}-\frac{1}{2\cotg(a)}+\frac{\cotg(b)}{2}-\frac{1}{2\cotg(b)}=[/tex3]

[tex3]\frac{\cotg(a)^2\cotg(b)+\cotg(b)^2\cotg(a)-\cotg(a)-\cotg(b)}{2\cotg(a)\cotg(b)}=\frac{(p-1)(\cotg(a)+\cotg(b))}{2p}[/tex3]

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[tex3]\frac{\cotg(a)^2\cotg(b)+\cotg(b)^2\cotg(a)-\cotg(a)-\cotg(b)}{2\cotg(a)\cotg(b)}=\frac{(p-1)(\cotg(a)+\cotg(b))}{2p}[/tex3]

Essa soma tá difícil de eliminar... Vou continuar tentando e qualquer coisa posto de novo.

EDIT: Esqueci de provar o que eu disse...

Tome o triângulo retângulo de catetos 1 e x, de maneira que o ângulo 2a esteja virado para 1. Então a hipotenusa é [tex3]\sqrt{1+x^2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{1+x^2}[/tex3]

. Rebata essa hipotenusa para trás, do lado do cateto de tamanho x, de maneira que tenhamos um novo cateto de tamanho [tex3]x+\sqrt{1+x^2}[/tex3]

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[tex3]x+\sqrt{1+x^2}[/tex3]

. Além disso, formamos um segundo triângulo que é isósceles, e pelo teorema do ângulo externo, a soma dos dois ângulos iguais desse novo triângulo deve ser 2a, portanto o ângulo é a. Assim, veja que esse ângulo a, de um triângulo retângulo maior, está virado para um cateto de lado 1, e o adjacente a ele é de tamanho [tex3]x+\sqrt{x^2+1}[/tex3]

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[tex3]x+\sqrt{x^2+1}[/tex3]

. Daí vem as relações que eu usei.

[Andre13000]

talvez a substituicao [tex3]x=\tg\theta[/tex3]

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[tex3]x=\tg\theta[/tex3]

e [tex3]y=\tg\gamma[/tex3]

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[tex3]y=\tg\gamma[/tex3]

funcione melhor no problema. tenho quase certeza, mas tenho que dormir agora :/

[Ittalo25]

Hoje de tarde eu tentei a substituição com a tangente, não deu em nada.

Uma coisa que observei é;

[tex3]\sqrt{x^{2}} + \sqrt{x^2+1} = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1} - \sqrt{x^2}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{x^{2}} + \sqrt{x^2+1} = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1} - \sqrt{x^2}}[/tex3]

Talvez a solução passe por aí.

[undefinied3]

Eu não estou colocando fé nessas opções de resposta...

Tome por exemplo x=3, y=5, então:
[tex3]p=(3+\sqrt{10})(5+\sqrt{26})=62,23[/tex3]

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[tex3]p=(3+\sqrt{10})(5+\sqrt{26})=62,23[/tex3]

Agora, substitua nas alternativas e nenhuma dá próximo de 8, talvez a letra C, mas nem no wolfram chega perto. Dá 7,76 mais ou menos.

[Andre13000]

Não há nenhuma resposta totalmente certa, mas fazendo uma análise assintótica, observe que:

[tex3]\sqrt{x^2+1}\approx x[/tex3]

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[tex3]\sqrt{x^2+1}\approx x[/tex3]

*(Para [tex3]x\rightarrow \infty[/tex3]

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[tex3]x\rightarrow \infty[/tex3]

)

[tex3]\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\cdot\left(y+\sqrt{y^{2}+1}\right)=p\\
4xy\approx p\\[/tex3]

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[tex3]\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\cdot\left(y+\sqrt{y^{2}+1}\right)=p\\
4xy\approx p\\[/tex3]

O exercício fala que:

[tex3]x+y=f(p)[/tex3]

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[tex3]x+y=f(p)[/tex3]

Como estamos utilizando análise assintótica para resolver o problema, temos que:

[tex3]\lim_{x,y\to\infty}\frac{x+y}{f(p)}=1[/tex3]

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[tex3]\lim_{x,y\to\infty}\frac{x+y}{f(p)}=1[/tex3]

Seguindo:

[tex3]x+y=f(p)\\
(x+y)^2=x^2+y^2+2xy\\
f^2(p)=x^2+y^2+\frac{p}{2}\\
x^2+y^2=f^2(p)-\frac{p}{2}\\
(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)\\
f^3(p)=x^3+y^3+\frac{3p\cdot f(p)}{4}\\
x^3+y^3=f^3(p)-\frac{3p \cdot f(p)}{4}\\
x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=f(p) \cdot \left(x^2+y^2-\frac{p}{4}\right)\\
f^3(p)-\frac{3p\cdot f(p)}{4}=f(p)\cdot \left(f^2(p)-\frac{p}{2}-\frac{p}{4}\right)\\
f^3(p)-\frac{3p}{4}\cdot f(p)=f^3(p)-\frac{3p}{4}\cdot f(p)\\
0=0\\[/tex3]

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[tex3]x+y=f(p)\\
(x+y)^2=x^2+y^2+2xy\\
f^2(p)=x^2+y^2+\frac{p}{2}\\
x^2+y^2=f^2(p)-\frac{p}{2}\\
(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)\\
f^3(p)=x^3+y^3+\frac{3p\cdot f(p)}{4}\\
x^3+y^3=f^3(p)-\frac{3p \cdot f(p)}{4}\\
x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=f(p) \cdot \left(x^2+y^2-\frac{p}{4}\right)\\
f^3(p)-\frac{3p\cdot f(p)}{4}=f(p)\cdot \left(f^2(p)-\frac{p}{2}-\frac{p}{4}\right)\\
f^3(p)-\frac{3p}{4}\cdot f(p)=f^3(p)-\frac{3p}{4}\cdot f(p)\\
0=0\\[/tex3]

Tenho quase certeza que não há solução para esse problema.

Tentativa por substituição trigonométrica:

[tex3]x=\tg\theta~;~y=\tg\gamma\\
(\tg\theta+\sec\theta)(\tg\gamma+\sec\gamma)=p\\
x+y=\tg\theta+\tg\gamma=f(p)\\
\tg\theta\tg\gamma+\tg\theta\sec\gamma+\tg\gamma\sec\theta+\sec\theta\tg\gamma=p\\
p=\tg\theta\tg\gamma+\frac{\sen\theta+\sen\gamma+1}{\cos\theta\cos\gamma}\\
\tg(a+b)=\frac{\tg(a)+\tg(b)}{1-\tg(a)\tg(b)}\\
\tg(a)tg(b)=1-\frac{\tg(a)+\tg(b)}{\tg(a+b)}\\
p=1-\frac{\tg\theta+\tg\gamma}{\tg(\theta+\gamma)}+\frac{\sen\theta+\sen\gamma+1}{\cos\theta\cos\gamma}\\
p=1-\frac{f(p)}{\tg(\theta+\gamma)}+\frac{\sen\theta+\sen\gamma+1}{\cos\theta\cos\gamma}\\[/tex3]

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[tex3]x=\tg\theta~;~y=\tg\gamma\\
(\tg\theta+\sec\theta)(\tg\gamma+\sec\gamma)=p\\
x+y=\tg\theta+\tg\gamma=f(p)\\
\tg\theta\tg\gamma+\tg\theta\sec\gamma+\tg\gamma\sec\theta+\sec\theta\tg\gamma=p\\
p=\tg\theta\tg\gamma+\frac{\sen\theta+\sen\gamma+1}{\cos\theta\cos\gamma}\\
\tg(a+b)=\frac{\tg(a)+\tg(b)}{1-\tg(a)\tg(b)}\\
\tg(a)tg(b)=1-\frac{\tg(a)+\tg(b)}{\tg(a+b)}\\
p=1-\frac{\tg\theta+\tg\gamma}{\tg(\theta+\gamma)}+\frac{\sen\theta+\sen\gamma+1}{\cos\theta\cos\gamma}\\
p=1-\frac{f(p)}{\tg(\theta+\gamma)}+\frac{\sen\theta+\sen\gamma+1}{\cos\theta\cos\gamma}\\[/tex3]

[tex3]\cos(a+b)=\cos a \cos b-\sen a \sen b\\
\cos a \cos b=\cos(a+b)+\sen a \sen b\\
p=1-\frac{f(p)}{\tg(\theta+\gamma)}+\frac{\sen\theta+\sen\gamma+1}{\cos(\theta+\gamma)+sen\theta\sen\gamma}\\
p=\frac{\tg(\theta+\gamma)\cos(\theta+\gamma)+\tg(\theta+\gamma)\sen\theta\sen\gamma-f(p)\cos(\theta+\gamma)-f(p)\sen\theta\sen\gamma+\tg(\theta+\gamma)\sen\theta+\tg(\theta+\gamma)\sen\gamma+\tg(\theta+\gamma)}{\tg(\theta+\gamma)\cos(\theta+\gamma)+\tg(\theta+\gamma)\sen\theta\sen\gamma}\\
p=\frac{\sen(\theta+\gamma)+\tg(\theta+\gamma)\sen\theta\sen\gamma-f(p)\cos(\theta+\gamma)-f(p)\sen\theta\sen\gamma+\tg(\theta+\gamma)\sen\theta+\tg(\theta+\gamma)\sen\gamma+\tg(\theta+\gamma)}{\sen(\theta+\gamma)+\tg(\theta+\gamma)\sen\theta\sen\gamma}[/tex3]

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[tex3]\cos(a+b)=\cos a \cos b-\sen a \sen b\\
\cos a \cos b=\cos(a+b)+\sen a \sen b\\
p=1-\frac{f(p)}{\tg(\theta+\gamma)}+\frac{\sen\theta+\sen\gamma+1}{\cos(\theta+\gamma)+sen\theta\sen\gamma}\\
p=\frac{\tg(\theta+\gamma)\cos(\theta+\gamma)+\tg(\theta+\gamma)\sen\theta\sen\gamma-f(p)\cos(\theta+\gamma)-f(p)\sen\theta\sen\gamma+\tg(\theta+\gamma)\sen\theta+\tg(\theta+\gamma)\sen\gamma+\tg(\theta+\gamma)}{\tg(\theta+\gamma)\cos(\theta+\gamma)+\tg(\theta+\gamma)\sen\theta\sen\gamma}\\
p=\frac{\sen(\theta+\gamma)+\tg(\theta+\gamma)\sen\theta\sen\gamma-f(p)\cos(\theta+\gamma)-f(p)\sen\theta\sen\gamma+\tg(\theta+\gamma)\sen\theta+\tg(\theta+\gamma)\sen\gamma+\tg(\theta+\gamma)}{\sen(\theta+\gamma)+\tg(\theta+\gamma)\sen\theta\sen\gamma}[/tex3]

Provavelmente também vai dar errado, então desisto.