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Mensagem não lidapor **ilprofeta** » 30 Jun 2014, 11:54 · Mensagem não lida por **ilprofeta** » 30 Jun 2014, 11:54

Dados os pontos $A = (1, 0, 0)$ , $B = (0, 2, 0)$ , $C = (0, 0, 3)$ e $O = (0, 0, 0)$ , sejam $r$ , $s$ e $t$ as retas que contêm os segmentos $OA$ , $OB$ e $OC$ , respectivamente. Encontre uma equação geral do plano $\pi$ paralelo ao plano que passa pelos pontos $A$ , $B$ , $C$ e de modo que a área do triângulo ABC seja igual a $7/8$ , onde $A$ , $B$ e $C$ são os pontos de intersecção das retas $r$ , $s$ e $t$ com o plano $\pi$ , respectivamente.

Mensagem não lidapor **Juniorhw** » 02 Jul 2014, 23:13 · Mensagem não lida por **Juniorhw** » 02 Jul 2014, 23:13

Vou fazer da maneira mais geral. Vamos primeiro achar o plano que passa pelos três pontos dados. O vetor normal do plano pode ser dado pelo produto vetorial de dois vetores não colineares contidos nesse plano. Pegando os vetores $\overrightarrow {AB}=(-1,2,0)$ e $\overrightarrow {BC}=(0,-2,3)$ e calculando o produto vetorial:

$\overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {BC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\-1&2&0\\0&-2&3\end{vmatrix}=(6,3,2)$

Logo o plano pode ser descrito por:

$6(x-1)+3y+2z=0\\\\\Rightarrow 6x+3y+2z-6=0$

Um plano paralelo a esse tem equação da forma $6x+3y+2z+d=0$

As retas $r$ , $s$ e $t$ são os próprios eixos, logo, achando as intersecções:

$r\cap \pi\Rightarrow 6x+d=0\Rightarrow x=-\frac{d}{6}\Rightarrow A=(-\frac{d}{6},0,0)$
$s\cap \pi\Rightarrow 3y+d=0\Rightarrow y=-\frac{d}{3}\Rightarrow B=(0,-\frac{d}{3},0)$
$t\cap \pi\Rightarrow 2z+d=0\Rightarrow z=-\frac{d}{2}\Rightarrow C=(0,0,-\frac{d}{2})$

A área do triângulo $\triangle ABC$ é metade do módulo do produto vetorial $\overrightarrow {AB}\times\overrightarrow {BC}$ :

$\overrightarrow {AB}\times\overrightarrow {BC}=\begin{vmatrix}\vec i& \vec j &\vec k\\\\\frac{d}{6}&-\frac{d}{3}&0\\\\0&\frac{d}{3}&-\frac{d}{2}\end{vmatrix}=\left(\frac{d^2}{6},\frac{d^2}{12},\frac{d^2}{18}\right)$

O módulo é:

$\left|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{\frac{d^4}{36}+\frac{d^4}{144}+\frac{d^4}{324}}=\sqrt{\frac{49d^4}{1296}}=\frac{7d^2}{36}$

A metade disso é a área de $\triangle ABC$ , que foi dada, logo:

$\frac{7d^2}{72}=\frac{7}{8}\Leftrightarrow d=\pm 3$

e as possíveis equações do plano são:

$\boxed{6x+3y+2z+3=0\text{ ou } 6x+3y+2z-3=0}$

Creio que seja isso,

Abraço.

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