Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Delick** » 24 Jun 2014, 01:53 · Mensagem não lida por **Delick** » 24 Jun 2014, 01:53

A figura abaixo mostra dois círculos de mesmo centro.

: Função.png (7.01 KiB) Exibido 1259 vezes

a) Ache a expressão que fornece a área y da região destacada de verde em função de x.
b) Se a área do círcuo menor é 4 [tex3]\pi[/tex3] , qual o valor de x?

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 24 Jun 2014, 07:54 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 24 Jun 2014, 07:54

Delick,

a)

Se o raio da circunferência maior é igual a $10$ u.m. e a distância entre as circunferências é de $x$ u.m., então o raio da circunferência menor é igual a $(10-x)$ u.m.

Área da circunferência maior = $\pi\cdot10^2=100\pi$
Área da circunferência menor = $\pi(10-x)^2=\pi(x^2-20x+100)$

Área hachurada = $100\pi-\pi(x^2-20x+100)=\pi(20x-x^2)$

b)

Área da circunferência maior = $100\pi$
Área da circunferência menor = $4\pi$

Área hachurada = $100\pi-4\pi=96\pi$

Igualando $96\pi$ à fórmula da área hachurada em função de $x$ :

$\pi(20x-x^2)=96\pi$
$20x-x^2=96$
$-x^2+20x-96=0\rightarrow\begin{cases}x_1=8\\\cancel{x_2=12}\end{cases}$

Mensagem não lidapor **Delick** » 24 Jun 2014, 14:13 · Mensagem não lida por **Delick** » 24 Jun 2014, 14:13

Obrigada por responder csmarcelo.
Então a letra a) fica: [tex3]y=-\pi x^2+20\pi x[/tex3] ?
E a letra b) é [tex3]8[/tex3] ?

Outra coisa esse u.m é o que?

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 24 Jun 2014, 14:36 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 24 Jun 2014, 14:36

Então a letra a) fica: y=-\pi x^2+20\pi x?

Isso aí.

E a letra b) é 8?

Exato. Eu coloquei as raízes erradas, mas já corrigi.

-------------------

"u.m." = unidades de medida

Mensagem não lidapor **Delick** » 24 Jun 2014, 15:03 · Mensagem não lida por **Delick** » 24 Jun 2014, 15:03

csmarcelo, só mais uma coisa...
Deixa eu ver se entendi, os [tex3]100\pi[/tex3] é a área da circunferência maior, certo? E [tex3]\pi (x^2-20x+100)[/tex3] o da menor, certo? Mas, porque a subtração? A circunferência menor num está inscrita ou dentro da maior, quer dizer, num faz parte dela? Ou sou eu que estou fazendo confusão e a única igualdade entre os dois são o centro, porém são circunferências diferente, a menor está em cima da maior, por exemplo?

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 24 Jun 2014, 16:12 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 24 Jun 2014, 16:12

Deixa eu ver se entendi, os 100\pi é a área da circunferência maior, certo?

Exatamente. Porque o raio dela é de 10 u.m.

Mas, porque a subtração?

A subtração ocorre justamente para descobrirmos a área da região hachurada, visto que a área dessa região equivale à área da circunferência maior menos a área da circunferência menor. A circunferência maior é o todo, a circunferência menor é parte desse todo. Se retirarmos essa parte, sobrará a área hachurada.

Pensando em conjuntos, suponha dois conjuntos $A=\{1,2,3,4,5\}$ e $B=\{1,2,3\}$ . Daí, temos que $A-B=\{4,5\}$ .

Repare que o que são os elementos de $A$ e $B$ , se são reais(físicos) ou não, ou qualquer outra questão com relação à sua natureza, é totalmente irrelevante.

A circunferência maior pode ser um pedaço de tecido e a circunferência menor pode ter sido desenhada com um compasso sobre aquela, ou então a circunferência menor pode ser um molde com lâminas que cortam o tecido. No final das contas, isso não faz a menor diferença. Na hora que cortarmos o tecido, sobrará uma área que equivale à área da circunferência maior menos a área que foi cortada, que corresponde à área da circunferência menor.

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