Ensino Médio ⇒ Equação Trigonométrica Tópico resolvido

[Imperial]

Resolva a equação: [tex3]sen^3x+cos^3x=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen^3x+cos^3x=1[/tex3]

É de certa forma, um pouco intuitivo, mas não consegui chegar por meio dos calculos

Resposta

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[tex3]S=\{x \in \mathbb{R}|x=2K\pi \ ou \ x= \frac{\pi}{2}+2k\pi, \ k\in\mathbb{Z}\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=\{x \in \mathbb{R}|x=2K\pi \ ou \ x= \frac{\pi}{2}+2k\pi, \ k\in\mathbb{Z}\}[/tex3]

Obrigado

[PedroCunha]

Olá.

Aqui basta lembrar da seguinte fatoração:

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[tex3]a^3+b^3 = (a+b) \cdot (a^2 - ab + b^2)[/tex3]

. Assim:

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[tex3](\sin x + \cos x) \cdot (\sin^2x - \sin x \cos x + \cos^2x) = 1 \therefore \\\\ (\sin x + \cos x) \cdot (1 - \sin x \cos x) = 1[/tex3]

Sabendo que

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[tex3]-1 \leq \sin x \leq 1, -1 \leq \cos x \leq 1[/tex3]

, a única possibilidade é:

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[tex3]\sin x + \cos x = 1 - \sin x \cos x = 1 \text{ ou } \sin x + \cos x = 1 - \sin x \cos x = -1[/tex3]

Para a primeira:

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[tex3]\sin x + \cos x = 1 - \sin x \cos x \therefore \sin x + \cos x = 1 - \frac{\sin (2x)}{2} \therefore \\\\ \sin^2x + 2\sin x \cos x + \cos^2x = 1 - \sin (2x) + \frac{\sin^2(2x)}{4} \therefore \\\\ 1 + \sin (2x) = 1 - \sin (2x) + \frac{\sin^2(2x)}{4} \therefore \sin^2(2x) - 8\sin(2x) = 0 \therefore \\\\ \sin (2x) \cdot (\sin (2x) - 8 ) = 0 , \sin(2x) = 0 \rightarrow x = 2k\pi \text{ ou } x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}[/tex3]

Para a segunda vai dar a mesma coisa.

Penso que seja isso.

Abraços,
Pedro

[Imperial]

Pedro,

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[tex3]1 - \sin x \cos x = -1[/tex3]

não seria impossível para valores reais? Teriamos que a metade do seno de 2x seria igual a 2! O que seria um absurdo, não?

[PedroCunha]

É verdade! Esqueci de descartar esse caso.

Bem observado!

[Imperial]

Estava analisando... Se considerarmos apenas o primeiro caso colocado por você, teremos já a resposta proposta, pois como [tex3]senx+cosx=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]senx+cosx=1[/tex3]

Podemos considerar quando o seno é 1 e o cosseno é 0, e também quando o seno é 0 e o cosseno é 1

Valeu Pedro, abraços!